【算法】分块初步详解

一.概念

分块算法，顾名思义，就是把问题分成多个块，然后按块来解决问题。适用的范围很广，通常是用在单点查询和某一区间的加减乘除。说白了，就是另类的一种暴力算法罢了

二.分块的编写

通过例题来讲解会更容易理解点，也便于我写编写的思路
例子很简单，给定一组数据num[]={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，求在[2，9]范围内都加上一个数 2，然后查询num[5]的值

1.块的长度
在分块算法中，我们通常都是设每一个块的长度为sqrt(n)，这样我们就把n个数据分为n/sqrt(n)个块。在此例中，n=16，所以我们需要把他分为4个块，每个块长度为4，如下图

2.块的标记
知道了每一个块的长度之后，为了操作方便，我们需要记录每个数所属的块，这样，在之后的操作时会大大降低我们的时间复杂度，标记只需要创建一个数组block[i]=b,表示第i个数属于x块。标记完之后如下图

3.块的操作
在对区间进行操作时，我们一般都对不完整的块进行暴力处理，对完整的块进行标记。在例题中，我们需要创建一个add数组来标记整个方块，则add[i]=c表示方块i整体加上c，如下图，带颜色的是暴力处理过的部分，这里add[2]=2,就是表示第2个方块所有的数都要加上2，这样减少了对这些数操作的时间。在数据很大的区间时，时间上的优势会更为明显

4.查询
那么该暴力解决的暴力解决了，该标记的块也标记了，查询的时候我们该怎么做呢？
很简单，如果要查询num[i]的值，直接输出num[i]+add[block[i]]，意思就是当前的值加上所属的块所标记的值，例如num[5]=5,而block[5]=2,add[2]=2,那么输出就是num[5]+add[block[5]]=5+add[2]=5+2=7.

5.例题
看完上面的可以看下这个例题数列分块入门1
下面是题解代码

#include <iostream>using namespace std;
const int MAXN = 50000 + 5;
int a[MAXN],add[MAXN],block[MAXN],n;void Add(int L,int R,int v)//[L,R]上加上v
{for(int i=L; i<=min(R,block[L]*sqrt(n)); i++) { //暴力处理左边不完整区间 a[i] += v;}if(block[R] == block[L])return;for(int i=(block[R]-1)*sqrt(n)+1; i<=R; i++) {  //暴力处理右边不完整区间a[i] += v;}for(int i=block[L]+1; i<=block[R]-1; i++) {       //完整区间处理，打标记add[i]+=v;}
}int query(int L,int R)//查询a[R]
{return a[R] + add[block[R]];
}int main()
{cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++) {cin>>a[i];block[i]=(i-1)/sqrt(n)+1;//sqrt(n)为长度，标记每个数所属的分块}for(int i=1; i<=n; i++) {int opt,L,R,v;cin>>opt>>L>>R>>v;if(op==0)Add(L,R,v);else printf("%d\n".query(L,R));}return 0;
}

三.总结

简单来说，分块算法分为几步

将要处理的数据分块
对每个数都标记所属的块
对于不完整的块暴力处理，完整的块进行处理的标记

知道了区间加法和查询，其实可以变化成很多种写法，例如区间乘法，区间求和，区间减法，区间各个操作的组合，修改等，又因为每次处理的数据只有sqrt(n)个，所以时间复杂度也大大降低了。不过其实对于这么区间操作，我们有更优秀的算法，例如线段树和树状数组，这些的时时间复杂度都达到了O(log n)而查询仅需O(1)，不过那些比较难以理解，而分块算法的最大优势就是容易理解。所以学好分块，也是很重要的！