卢卡斯定理（十分钟带你看懂）

在开始之前我们先介绍3个定理：

1.乘法逆元

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

2.费马小定理：

3.扩展欧几里得

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式ax + by = gcd(a, b)。

好了，在明白上面的定理后我们开始分析乘法逆元：ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1，即 a%p*x%p=res,res%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式- -。那么问题来了。

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为什么可以用费马小定理来求逆元呢？

由费马小定理 , 变形得，答案已经很明显了:若a,p互质,因为且,则,用快速幂可快速求之。

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为什么可以用扩展欧几里得求得逆元？

我们都知道模就是余数，比如12%5=12-5*2=2，18%4=18-4*4=2。（/是程序运算中的除）

那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

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知道逆元怎么算之后，那么乘法逆元有什么用呢？

先说重点，本人认为！乘法逆元最大的作用就是，在要除以一个数，再取模时，把除法变成乘法运算，然后再取模。因为除法，比如用16/5应该是3.2，但是计算机会算成3.。。误差有没有，用double就更不用说了，数大了一定有误差，所以，有了逆元！！！！

若对于数字A,C 存在X，使A * X = 1 (mod C) ,那么称X为 A 对C的乘法逆元。

逆元的作用？让我们来看下面的例子:
12 / 4 mod 7 = ? 很显然结果是3
我们现在对于数对 (4,7), 可以知道 X = 2是 4 对7的乘法逆元即2*4=1（mod 7)
那么我们有(12 / 4) * (4 * 2 ) = (?) * (1) (mod 7)
除法被完美地转化为了乘法
理论依据:
F / A mod C = ?
如果存在 A*X = 1 (mod C)
那么2边同时乘起来,得到 F * X = ? (mod C)
成立条件
(1) 模方程 A * X = 1(mod C) 存在解
(2) A | F (F % A == 0)
以下来百度百科：
若ax=1 mod f 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。
当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
例如，求5关于模14的乘法逆元：
14=5*2+4
5=4+1
说明5与14互素，存在5关于14的乘法逆元。
1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14
因此，5关于模14的乘法逆元为3。
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接下来进入正题：
Lucas定理针对该取值范围较大又不太大的情况
定理描述

这样将组合数的求解分解为小问题的乘积，下面考虑计算C(ni, mi) %p.

　已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。当我们要求（a/b）mod p的值，且b很大，无法直接求得a/b的值时，我们可以转而使用乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。
　下面附上Lucas定理的一种证明，见下图，参考冯志刚《初等数论》第37页。
　
　对于该定理的理解，也很好理解：
　其实大可不必看中间一大堆文字描述，直接看下面公式的推导：

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　 代码实现：
　费马小定理实现（其实跟拓展gcd没多大区别，换了个公式而已）

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include<cstring>using namespace std;typedef long long ll;ll mulit(ll a,ll b,ll m){ll ans=0;while(b){if(b&1) ans=(ans+a)%m;a=(a<<1)%m;b>>=1;}return ans;
}ll quick_mod(ll a,ll b,ll m){ll ans=1;while(b){if(b&1){ans=mulit(ans,a,m);}a=mulit(a,a,m);b>>=1;}return ans;
}ll comp(ll a,ll b,ll m){if(a<b) return 0;if(a==b) return 1;if(b>a-b) b=a-b;ll ans=1,ca=1,cb=1;for(int i=0;i<b;i++){ca=ca*(a-i)%m;cb=cb*(b-i)%m;}ans=ca*quick_mod(cb,m-2,m)%m;return ans;
}ll lucas(ll a,ll b,ll m){ll ans=1;while(a&&b){ans=(ans*comp(a%m,b%m,m))%m;a/=m;b/=m;}return ans;
}int main()
{ll a,b,m;while(cin>>a>>b>>m){cout<<lucas(a,b,m)<<endl;}return 0;
}

拓展gcd实现

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include<cstring>using namespace std;typedef long long ll;ll exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y){if(a%b==0){x=0,y=1;return b;}ll r,tx,ty;r=exgcd(b,a%b,tx,ty);x=ty;y=tx-a/b*ty;
}ll comp(ll a,ll b,ll m){if(a<b) return 0;if(a==b) return 1;if(b>a-b) b=a-b;ll ans=1,ca=1,cb=1;for(int i=0;i<b;i++){ca=ca*(a-i)%m;cb=cb*(b-i)%m;}ll x,y;exgcd(cb,m,x,y);x=(x%m+m)%m;ans=ca*x%m;return ans;
}ll lucas(ll a,ll b,ll m){ll ans=1;while(a&&b){ans=(ans*comp(a%m,b%m,m))%m;a/=m;b/=m;}return ans;
}int main()
{ll a,b,m;int n;cin>>n;while(n--){cin>>a>>b>>m;cout<<lucas(a+b,b,m)<<endl;}return 0;
}

试试拓展吧
拓展卢卡斯定理

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