随机选择算法时间复杂度分析

2024-06-21 02:08:02

随机选择算法时间复杂度分析

首先提供算法的伪代码：

算法是递归算法
时间复杂度分析思路：计算每一次递归语句所消耗的时间，再求和。

为了分析需要，我们先定义如下的量：

定义状态j：数组长度在[(3/4)^(j+1)n,(3/4)^jn]时，程序处在状态j。
定义Xj: 程序处于状态j时调用的递归次数，即调用Xj次递归之后程序进入第j+1个状态。
partition的时间复杂度为c* n，其中c为常数，n为数组长度，且一次partition至多遍历数组的两倍长度，即c<=2。

因此，我们可以得到时间复杂度的数学表述：

runtime<=Σ Xjc (3/4)^j * n---------------------------------------------------------------（1）

其中c是常数，(3/4)^j * n代表状态j下的数组长度。

于是，问题就转化成了求出Xj。
这里引入期望的概念，用E[]代表期望函数，

E[runtime] <= Σ E[Xj]c (3/4)^j * n -------------------------------------------------------（2）

，从上式可以看出，runtime的大小只取决于Xj的大小，所以只将E[]作用于Xj。

言归正传，Xj又是取决于什么呢，答案是每次partition的a的位置：
如果a在1/4arrsize~3/4arrsize时，下一次递归后状态一定会改变。
对于这样的a，我们开心地称之为good pivot！

而当a在0~1/4arrsize 和 3/4arrsize~1arrsize,如果分割方向正确，那么下次递归状态也会改变，但是不能保证一定改变，所以下面关于Xj的式子用“<=”表示。

那么选到good pivot的概率是多大呢？很简单，1/2!
所以我们可以算出Xj的值：

Xj<=1/(0.5)=2----------------------------------------------------------------------(3)

式3代入式2，得到

E[runtime] <= Σ 2c (3/4)^j * n

将Σ作用在(3/4)^j上就有

E[runtime] <= 2cn * Σ(3/4)^j

用等比数列求和公式，有

E[runtime] <= 8cn = O(n)

所以，我们得到算法时间复杂度为O(n)

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