OCaml 第一章练习

文章目录

OCaml 第一章练习
- 最大公约数
- 奇偶判定
- 复合函数
- 函数的n次幂，fnf^nfn
- 函数快速幂，fn=fn/2(fn/2)f^n=f^{n/2} (f^{n/2})fn=fn/2(fn/2)
- 统计表达式的计算时间
- 柯里化和逆柯里化
- 斐波那契数列
- 求函数的根，二分查找
- 牛顿下山法
- 广义加 fold
- 积分函数 integrate
- 第一章疑问

最大公约数

let rec gcd a b =if b = 0 then aelse if a < b the n gcd b aelse gcd b (a mod b);;

奇偶判定

相互递归的使用

let rec even x = if x = 0 then trueelse odd (x-1)
and odd x = if x = 0 then falseelse even (x-1)

复合函数

let (@@) f g = fun x -> f (g x);;
(* 二者等价于 lambda f. lambda g. lambda x. f (g x) *)
let (@@) f g x = f (g x);;

函数的n次幂，fnf^nfn

三者等价。

let (@@) f g x = f (g x);;
(* type = (a' -> b') -> (c' -> a') -> c' -> b' *)
let rec itr n f = let n = 0 then fun x -> xelse f @@ itr (n-1) f

let rec itr n f =if n = 0 then fun x -> xelse fun x -> f (itr (n-1) f x)
(* type = int -> (a' -> a') -> a' -> a' *)

let rec itr n f x =let n = 0 then xelse f (itr (n-1) f x)

函数快速幂，fn=fn/2(fn/2)f^n=f^{n/2} (f^{n/2})fn=fn/2(fn/2)

let sq f x = f (f x);;
let rec itr n f x = if n = 0 then xelse if n mod 2 = 0 then sq (itr (n/2) f) xelse  f (sq (itr (n/2) f) x);;

将 sq 带入得到如下表达式

let rec itr n f x = if n = 0 then xelse if n mod 2 = 0 then (fun f x -> f (f x)) (itr (n/2) f) xelse  f ( (fun f x -> f (f x)) (itr (n/2) f) x );;

统计表达式的计算时间

(* type = (a' -> b') -> a' -> b' *)
let time f x =let t = Sys.time() inlet fx = f x in Printf.printf "Execution time: %fs\n" (Sys.time() -. t);fx;;
(* 使用方法 *)
time (itr 1000000 (fun x -> x*x)) 2;;

柯里化和逆柯里化

let curry f x y = f (x, y);;
(* type = (a' * b' -> c') -> a' -> b' -> c' *)
let uncurry f (x, y) = f x y;;
(* type = (a' -> b' -> c') -> (a' * b') -> c' *)

斐波那契数列

(* 使用了快速幂的itr *)
let fib n = fst (itr n (fun (x, y) -> (y, x+y)) (0, 1));;
(* time fib 50000000 输出时间开销为 3.7s *)(* 简单递归求解 *)
let fib n (x, y) = match n with | 0 -> x| _ -> fib (n-1) (y, x+y);;
(* time (fib 50000000) (0, 1) 输出时间开销为 0.64s *)

快速幂itr的fib没有简单递归的fib速度快的原因可能在于itr不是尾递归? 此处存在疑惑。

求函数的根，二分查找

使用递归

let rec dicho f (a, b) eps = let is_ok (a, b) = abs_float (a -. b) < eps  and do_better (a, b) = let c = (a +. b) /. 2.0 inif (f a) *. (f c) > 0.  then (c, b)else (a, c)in if is_ok (a, b) then (a, b)else dicho f (do_better (a, b)) eps;;let x = dicho (fun x -> cos (x /. 2.0)) (1.0, 5.0) 1e-10;;

使用 loop循环（其实loop也是递归）

let rec dicho f (a, b) eps = let rec loop p f x = if (p x) then xelse loop p f (f x)and is_ok (a, b) = abs_float (b -. a) < eps  and do_better (a, b) = let c = (a +. b) /. 2.0 in if (f a) *. (f c) > 0.0 then (c, b)else (a, c)in loop is_ok do_better (a, b);;let x = dicho (fun x -> cos (x /. 2.0)) (1.0, 5.0) 1e-10;;

牛顿下山法

xn+1=xn−f(xn)f′(xn),f′(x)=f(x+dx)−f(x)dxx_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, f'(x)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}xn+1=xn−f′(xn)f(xn),f′(x)=dxf(x+dx)−f(x)

let newton f x dx eps =let rec loop p f x = if (p x) then x else p f (f x) and is_ok x = (abs_float x) < epsand f' x = (f (x +. dx) -. f x) /. dx in let step x = x -. (f x /. f' x) inloop is_ok step x;;let x = newton (fun x -> log x -. 1.0) 2.7 1e-10 1e-10;;

广义加 fold

(* f 是操作，l 是列表，e 是 f 操作的单位元 *)
let fold f l e =match l with| [] -> e| h :: t -> f h (fold f t e);;let x = fold (fun x y -> x + y) [1;2;3;4;5] 0;;
let x = fold (fun x y -> x * y) [1;2;3;4;5] 1;;

积分函数 integrate

let rec integrate f a b dx res = if abs_float (b -. a) < dx then reselse integrate f (a +. dx) b dx (res +. (f a) *. dx);;let x = integrate (fun x -> 1. /. x) 1. 2. 1e-8 0.;;

第一章疑问

本章的主要问题是关于 itr 表达式，我做了如下的实验：

let sq f x = f (f x);;
let rec itr f n dep x = print_string "cur dep is ";print_int dep;print_string ", n = ";print_int n;if n = 0 then xelse if n mod 2 = 0 then sq (itr f (n/2) (dep+1)) xelse f (sq (itr (n/2) (dep+1)) x;;Printf.printf "2^x = %i\n" (itr 4 (fun x -> x + x) 0 1);;

其输出如下两种情况，即同样的代码会有不同的输出：

不管是哪种输出都不是我所期望的，我希望的输出是同如下代码的输出结果：

let sq x = x *. x;;
let rec power a n y = print_string "cur dep is ";print_int y;print_string ", n = ";print_int n;print_newline ();if n = 0 then 1.else if n mod 2 = 0 then sq (power a (n/2) (y+1))else a *. sq (power a (n/2) (y+1));;Printf.printf "2.^x = %f\n" (power 2. 4 0);;

其输出如下，是符合期望的。

希望有大佬能解答我的问题TT.

进展：其实itr的输出为如下的二叉树的先序遍历

f4的计算需要f2，f2被算了2次，f2的计算需要f1，每个f2需要算2个f1，一共4个f1，同理f0有8个f^4的计算需要f^2，f^2被算了2次，f^2的计算需要f^1，每个f^2需要算2个f^1，一共4个f^1，同理f^0有8个f4的计算需要f2，f2被算了2次，f2的计算需要f1，每个f2需要算2个f1，一共4个f1，同理f0有8个。

原因：λ\lambdaλ演算的β\betaβ归约只做替换，不存储中间结果？

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