二叉树的基础算法综述

二叉树是一种递归定义的数据结构，自然而然地其算法大多也都采用递归的形式。二叉树的基础算法包括且不限于：

（1）二叉树的建立

（2）二叉树的三种遍历

（3）二叉树各类结点数计算（度为2,1,0的个数）

（4）二叉树的高度

（5）二叉树的宽度

（6）二叉树的直径

（7）二叉树的公共祖先

（8）二叉树的两种遍历序列推出第三种序列

二叉树的这些算法使用的是相同的算法模板，本文将会依次介绍这几种算法的具体写法。

二叉树的二叉链表存储结构定义与基础算法模板：

typedef struct BiTNode{char data;struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
} *BiTree;
void 函数名(BiTree T)/**< 树根 */
{if(根为空指针)/**< 也可能返回0 */return;函数名(T->lchild);函数名(T->rchild);/**< 这里一般会有一些代码用于计算 */
}

（1）二叉树的建立

二叉树有三种常用的存储结构，分别是顺序存储结构（基于完全二叉树的性质）、二叉链表、静态二叉链表。三种结构都可以方便地通过父结点找到左孩子和右孩子结点。前两种结构教材上已给，且教材上已有通过先序序列建立二叉链表的算法，本文不做赘述。

静态二叉链表本质上是一个一维数组，用数组下标替代指针。

struct node/**< 静态二叉链表 */
{char data;int lchild,rchild;
}T[100005];

其实很少有题目会采用教材上先序序列的方式输入数据，大多数都是给出父子关系对：如下题目

19081 树上摘樱桃 “1 left 2 ” 表示1的左孩子是2，此时使用静态二叉链表是比较方便的。

10 9
1 left 2
1 right 3
2 left 4
2 right 5
3 right 6
6 left 7
6 right 8
8 left 9
8 right 10

当我们读入 1 left 2是，只需写上 T[1].lchild=2; 2 right 5 ：T[2].rchild=5；

（2）二叉树的三种遍历

从递归的角度看，三种算法是完全相同的，或说这三种算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

void PreOrderTraverse( BiTree T) {/**< 前序遍历二叉树T的递归算法 */if(T){cout<<T->data;/**< 语句位置决定遍历方法 */PreOrderTraverse(T->lchild);PreOrderTraverse(T->rchild);}
}

（3）二叉树各类结点数计算（度为2,1,0的个数）

在遍历的时候不要输出值，改为检查这个结点的度并计数。

int d2=0,d1=0,d0=0;
void nodeDegree(BiTree T)
{if(T){if(T->lchild&&T->rchild)d2++;else if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)d0++;elsed1++;nodeDegree(T->lchild);nodeDegree(T->rchild);}
}

（4）二叉树的高度

左子树高度和右子树高度的最大值+1。

int getTreeHeight(BiTree T)
{if(T==NULL)return 0;return 1+max(getTreeHeight(T->lchild),getTreeHeight(T->rchild));
}

（5）二叉树的宽度

树中每一层都有若干个结点，宽度指的是树中层结点最多的数量，这个题目和求第K层结点数量是类似的。一种方法是使用BFS算法来标记每个结点的层数。也可以用二分递归方法计算每个点层数，因为每个点层数是其父节点层数+1；

void getLevel(Bitree T,int level)/**< level是其父节点层数，初始调用时树根的父节点层数为0 */
{if(T){/**< 此处可以记录T的层数是level+1,用一个计数数组记录每层个数，求最大值 *//**< 如果是求第k层个数问题，那么if(level+1==k)  cnt++即可 */getLevel(T->lchild,level+1);getLevel(T->rchild,level+1);}
}

（6）二叉树的直径

一棵二叉树的直径长度是任意两个结点路径长度中的最大值。这条路径可能穿过也可能不穿过根结点。算法实际上通过枚举以T为根的左右子树高度和即可得到，因为二叉树的路径必然经过两个点的最近公共祖先，如果想让路径最长，显然这两个点都应该是叶子。

int maxlen=0;
int getTreeHeight(BiTree T)
{if(T==NULL)return 0;/**< 在求二叉树高度函数中添加下面语句即可 */maxlen=getTreeHeight(T->lchild)+getTreeHeight(T->rchild);return 1+max(getTreeHeight(T->lchild),getTreeHeight(T->rchild));
}

（7）二叉树的最近公共祖先

感兴趣点击如下链接，内附各类题解。

力扣236. 二叉树的最近公共祖先

（8）二叉树的两种遍历序列推出第三种序列

18724 二叉树的遍历运算

二叉树的三种遍历都可以通过递归实现。
如果我们知道一棵二叉树的先序和中序序列，可以用递归的方法求后序遍历序列。
输入格式
两行，第一行一个字符串，表示树的先序遍历，第二行一个字符串，表示树的中序遍历。树的结点一律用小写字母表示。输出格式
一个字符串，树的后序序列。
输入样例
abcde
bcade
输出样例
cbeda

先序或后序遍历可以确定以树根的位置，然后用中序确定左子树和右子树结点集合，这样问题就可以二分为左子树和右子树两个子问题，继续递归，注意递归结束条件不是l==r。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
char x[1005],z[1005];
void hx(int l,int r,int l2,int r2)
{if(l>r)return;int p=l2;while(z[p]!=x[l]) /**< 在中序中找到树根x[l]的位置 */p++;hx(l+1,l+p-l2,l2,p-1);/**< 左子树 */hx(l+p-l2+1,r,p+1,r2);/**< 右子树 */cout<<x[l];
}
int main()
{int n;cin>>x>>z;n=strlen(x);hx(0,n-1,0,n-1);return 0;
}

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