7.图-东南大学计算机学院

东南大学计算机学院 方效林

本课件借鉴了清华大学殷人昆老师

和哈尔滨工业大学张岩老师的课件

第七章 图

本章主要内容

图的基本概念

图的存储表示

图的遍历与连通性

最小生成树

最短路径

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图的基本概念

定义

图是由顶点及顶点之间的关系集合组成的数据结构Graph = ( V, E )

V是顶点的有穷非空集，V={x | x∈某个对象}

E是顶点之间关系，称为边(edge)的有穷非穷集，E={(x,y) | x,y∈V}

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图的基本概念

有向图与无向图

有向图中，顶点对(x,y)是有序的

无向图中，顶点对(x,y)是无序的

完全图

n个顶点的无向图有n(n-1)/2条边,该图为完全图

n个顶点的有向图有n(n-1)条边,该图为完全有向图

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2

1

3

0

2

1

4

0

完全无向图

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3

6

5

无向图(自由树)

1

2

0

有向图

完全有向图

图的基本概念

邻接顶点

(u, v)是E中的一条边，则称u与v互为邻接顶点

子图

设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若 V’? V 且 E’?E, 则称G’是G 的子图

权：边附带的权重，称这样的图称为带权图

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1

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0

1

3

0

2

1

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2

1

3

0

子图

图的基本概念

顶点v的度

与v为端点的边条数，记作D(v)

入度：有向图中,以v为终点的边的条数,记作ID(v)

出度：有向图中,以v为始点的边的条数,记作OD(v)

有向图中v的度为入度与出度的和

路径

图 G＝(V, E) 中, 从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 (vi vp1 vp2 ... vpm vj)为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 应是属于E的边。

6

图的基本概念

路径长度

非带权图的路径长度是指此路径上边的条数

带权图的路径长度是指路径上各边的权之和

简单路径

路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复

回路

路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合

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图的基本概念

连通图与连通分量

无向图中, 从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。

若图中任意一对顶点都是连通的, 则此图是连通图

非连通图的极大连通子图叫连通分量

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1

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0

4

连通图

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2

1

3

0

4

非连通图(有2个连通分量)

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图的基本概念

强连通图与强连通分量

在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图

非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量

生成树

一个连通图的生成树是其极小连通子图，在 n 个顶点的情形下，有n-1条边。

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图的存储表示

邻接矩阵

一个有 n 个顶点的图G = ( V, E )， 图的邻接矩阵是一个二维数组 A.edge[n][n]

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有向图的邻接矩阵可能不对称

无向图的邻接矩阵是对称的

图的存储表示

邻接矩阵

网络(带权图)的邻接矩阵

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图的存储表示

邻接表

无向图的邻接表

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data

link

dest

link

dest

link

dest保存的是邻接顶点的下标

顶点数组

链接结点

图的存储表示

邻接表

有向图的邻接表和逆邻接表

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data

link

dest

link

data

link

dest

link

dest

link

邻接表(出边表)

逆邻接表(入边表)

图的存储表示

网络(带权图)的邻接表

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邻接表(出边表)

图的遍历

从给定顶点出发，沿某些边遍历图中所有顶点一次且仅一次

使用辅助数组visited[ ]标识顶点是否被访问过

visited[ ]初始为0

访问过后标识为1

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图的遍历

遍历方式

深度优先遍历 DFS (Depth First Search)

广度优先遍历 BFS (Breadth First Search)

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图的遍历

遍历方式

深度优先遍历 DFS (Depth First Search)

从顶点v1出发，访问任一未被访问的邻接顶点v2;

再从顶点v2出发，访问任一未被访问的邻接顶点v3;

再从顶点v3出发，… ，如此进行下去，直到所有邻接顶点都被访问过为止

退回一步到刚被访问的顶点，看是否有未被访问的邻接顶点。

若有，则继续访问

否则，再退回一步

直到所有顶点都被访问

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图的遍历

遍历方式

深度优先遍历 DFS (Depth First Search)

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深度优先搜索过程

深度优先生成树

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9

图的遍历

遍历方式

广度优先遍历 BFS (Breadth First Search)

从起始顶点v出发