Codeforces 70D 动态凸包 (极角排序 or 水平序)

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/70/D

本题关键：在log(n)的复杂度内判断点在凸包或把点插入凸包

判断：平衡树log(n)内选出点所属于的区域

插入：平衡树log(n)内选出点所属于的区域，与做一般凸包的时候类似，分别以该点向左右两边进行维护，

一直删除不满足凸包的点，直到所有点满足凸包为止。

水平序：

可以用2个平衡树分别维护上下2个半凸包，具体实现时可以把其中一个半凸包按y轴对称以后，那么2个半凸包的维护就是同一种方法，写2个函数就ok了。

具体平衡树可以用set或map，用STL以后边界处理有点烦，需要注意。

水平序的凸包有一个特点（如按x排序）：对于上下凸包(分开来看)，x相同的点只有一个。所以用set维护比较麻烦，用map维护相对容易一点。

极角序：

之前给你的3个点一定是插入的，可以选它们的中心点o作为之后的凸包中心，按o进行极角排序。

之后的做法就跟 “本题关键” 的做法一致。

以下给出3份不同的代码：

set代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
typedef set <pii > ::iterator iter;
#define mp make_pair
#define X first
#define Y second
int q, op, x, y;
set <pii > up, down;
const int inf = 1e9;
ll cross(pii o, pii a, pii b) {return (ll)(a.X-o.X)*(b.Y-o.Y) - (ll)(a.Y-o.Y)*(b.X-o.X);
}
bool inside(set<pii > &st, int x, int y) {if(!st.size()) return 0;if(x < st.begin()->X || x > st.rbegin()->X) return 0;iter c = st.lower_bound(mp(x, -inf));//如果有相同x的点，比较y值即可if(c != st.end() && c->X == x)return y >= c->Y;iter r = st.lower_bound(mp(x, y));iter l = r; l--;return  cross(*l, mp(x, y), *r) <= 0;
}
void add(set<pii > &st, int x, int y)
{if(inside(st, x, y)) return;iter c = st.lower_bound(mp(x, -inf));if(c != st.end() && c->X == x)   //如果有相同x的点必须删除st.erase(c);st.insert(mp(x, y));iter cur = st.lower_bound(mp(x, y)), i, j;for(i = cur, i--, j = i, j--; i != st.begin() && cur != st.begin(); i = j, j--)if(cross(*cur, *i,*j) >= 0) st.erase(i);else break;for(i = cur, i++, j = i, j++; i != st.end() && j != st.end(); i = j, j++)if(cross(*cur, *i, *j) <= 0) st.erase(i);else break;
}int main() {scanf("%d", &q);while(q--) {scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);if(op == 1) {add(up, x, -y);add(down, x, y);}else if(inside(up, x, -y) && inside(down, x, y))puts("YES");else puts("NO");}return 0;
}

map代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
#define X first
#define Y second
typedef map<int, int> mii;
typedef map<int, int>::iterator iter;
typedef long long ll;
ll cross(iter o, iter a, iter b) {return  (ll)(a->X-o->X)*(b->Y-o->Y)-(ll)(a->Y-o->Y)*(b->X-o->X);
}
mii up, down;
bool inside(mii &p, int x, int y) {if(!p.size()) return 0;if(x < p.begin()->X || x > p.rbegin()->X) return 0;if(p.count(x)) return y >= p[x];p[x] = y;iter cur = p.lower_bound(x), i, j;i = cur; j = cur; j++; i--;bool ret = cross(i, cur, j) <= 0;p.erase(x);return ret;
}
void add(mii &p, int x, int y) {if (inside(p, x, y))return;p[x] = y;iter cur = p.lower_bound(x), i, j;for (i = cur, i--, j = i, j--; i != p.begin() && cur != p.begin();i = j--)if (cross(cur, i, j) >= 0) p.erase(i);else break;for (i = cur, i++, j = i, j++; i != p.end() && j != p.end();i = j++)if (cross(cur, i, j) <= 0) p.erase(i);else break;
}
int main() {int i, j, Q, x, y, op;scanf("%d", &Q);while (Q--) {scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);if (op == 1) {add(up, x, -y);add(down, x, y);} else if (inside(up, x, -y) && inside(down, x, y))printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}return 0;
}

极角序代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct point {int x, y;ll d;double z;
}o, a[5], p;
typedef set <point>:: iterator iter;
bool operator <(const point &a, const point &b) {return a.z < b.z || (a.z == b.z && a.d < b.d);
}ll cross(point o, point a, point b) {return (ll)(a.x-o.x)*(b.y-o.y)-(ll)(a.y-o.y)*(b.x-o.x);
}
set <point> st;
iter L(iter x) {if(x == st.begin()) x = st.end();x--;return x;
}
iter R(iter x) {x++;if(x == st.end()) x = st.begin();return x;
}int q, op;
int main() {scanf("%d", &q);for(int i = 0; i < 3; i++) {scanf("%d%d%d", &op, &a[i].x, &a[i].y);o.x += a[i].x;o.y += a[i].y;a[i].x *= 3; a[i].y *= 3;}for(int i = 0; i < 3; i++) {a[i].d = (ll)(a[i].x-o.x)*(a[i].x-o.x)+(ll)(a[i].y-o.y)*(a[i].y-o.y);a[i].z = atan2(a[i].y-o.y, a[i].x-o.x);st.insert(a[i]);}q -= 3;while(q--) {scanf("%d%d%d", &op, &p.x, &p.y);p.x *= 3; p.y *= 3;p.z = atan2(p.y-o.y, p.x-o.x);p.d = (ll)(p.x-o.x)*(p.x-o.x)+(ll)(p.y-o.y)*(p.y-o.y);iter i = st.lower_bound(p), j;if(i == st.end()) i = st.begin();j = L(i);if(op == 2) {if(cross(*j,p,*i)<=0) puts("YES");else puts("NO");continue;}if(cross(*j,p,*i)<=0) continue;st.insert(p);iter cur = st.find(p);i = L(cur); j = L(i);while(cross(*j, *i, *cur) <= 0) {st.erase(i);i = j;  j = L(j);}i = R(cur); j = R(i);while(cross(*j, *i, *cur) >= 0) {st.erase(i);i = j; j = R(j);}}return 0;
}

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