在排序的最终结果中，各元素的次序依赖于它们之间的比较。这类排序算法被称为比较排序。对于包含 nnn 个元素的输入序列来说，任何比较排序算法在最坏情况下都要经过至少 O(nlogn)O(n\ log\ n)O(n log n) 次比较。

而一些排序算法是用运算而不是比较来确定排序顺序的，如计数排序、基数排序以及桶排序。因此，比较次数的下界 O(nlogn)O(n\ log\ n)O(n log n) 对它们是不适用的。

下面介绍计数排序。

计数排序

计数排序假设 nnn 个输入元素中的每一个都是在 000 到 kkk 区间内的一个整数，其中 kkk 为某个整数。计数排序的时间复杂度为 O(n+k)O(n+k)O(n+k)，当 k=O(n)k=O(n)k=O(n) 时，排序的时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。

计数排序要求输入数据必须是整数，在实际工作中，当 k=O(n)k=O(n)k=O(n) 时，一般会采用计数排序。如果输入元素的范围不在 000 到 kkk 之内，那么可以根据元素的最大值和最小值将其映射到 000 到 kkk 之内。

计数排序的基本思想：对于每一个输入元素 xxx，确定小于 xxx 的元素个数。利用这一信息，就可以直接把 xxx 放到它在输出数组中的位置上了。例如，如果有 17 个元素小于 xxx，则 xxx 就应该在第 18 个输出位置上。当有几个元素相同时，这一方案要略做修改，因为不能把他们放在同一个输出位置上。

算法执行过程中需要三个数组：
（1）数组 AAA，为要排序的输入数组，数组大小为 nnn。
（2）数组 BBB，提供临时存储空间，用于存储小于该下标值的元素个数，数组大小为 k+1k+1k+1。
（3）数组 CCC，存放排序的输出，数组大小为 nnn。
因此该算法的空间复杂度为 O(n+k)O(n + k)O(n+k)，当 k=O(n)k=O(n)k=O(n) 时，空间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。

算法执行过程如下：
（1）根据待排序数组 AAA 中元素的最大值 maxmaxmax 和最小值 minminmin，申请大小为 max−min+1max-min+1max−min+1 的数组 CCC。
（2）扫描数组 AAA，记录每个不同的元素出现的次数，将其记录在数组 CCC 中。数组 CCC 的每一位 C[i]C[i]C[i] 就代表数组 AAA 中元素 i+mini+mini+min 出现的次数。可以发现，计数排序的该过程，其实就是将待排序集合 AAA 中的每个元素值本身大小作为下标，依次进行了存放。而此时的数组 CCC 就是为了确定每个元素值出现了几次。
（3）对数组 CCC 中的每个值从前向后进行累加，每个位置的值更新为加上前一个位置的值，此时数组 CCC 中每个元素 C[i]C[i]C[i] 表示待排序数组 AAA 中小于等于该下标值 iii 的元素个数。
（4）反向遍历待排序数组 AAA 来填充目标数组 BBB：将 AAA 中每个元素值 A[j]A[j]A[j] 放在新数组的第 C[A[j]−min]C[A[j]-min]C[A[j]−min] 位，然后将 C[A[j]−min]C[A[j]-min]C[A[j]−min] 减一。

用上图举例在输入数组 AAA 上的处理过程。其中 AAA 中的每一个元素都是在 000 到 555 范围内：
（a）首先扫描一遍数组 AAA，记录 AAA 中每个元素出现的次数，将该信息存储在数组 CCC 中， CCC 中每个下标就表示 AAA 中不同的元素值。如当前图中数组 CCC 所示；
（b）从前向后对计数进行累加，当前数组 CCC 中每个元素代表小于等于该下标的元素出现的次数；
（c~e）反向遍历输入数组 AAA，将其每个元素 A[j]A[j]A[j] 放在输出数组 BBB 的第 C[A[j]]C[A[j]]C[A[j]] 项，然后将 C[A[j]]C[A[j]]C[A[j]] 减一。图中表示该过程迭代了一次、两次和三次之后，输出数组 BBB 和辅助数组 CCC 的情况。其中数组 BBB 只有浅色阴影部分有元素值填充；
（f）最终排好序的输出数组 BBB。

计数排序的一个重要性质就是它是稳定的：具有相同值的元素在输出数组中的相对次序相同。也就是说，对两个相同的数来说，在输入数组中先出现的数，在输出数组中在位于前面。
计数排序的稳定性很重要的另一个原因是：计数排序经常会被用作计数排序算法的一个子过程。

虽然计数排序看上去很强大，但是它存在两大局限性：

当数据最大值和最小值差距过大时，并不适用于计数排序。

比如给定 20 个随机整数，范围在 0 到 1 亿之间，此时如果使用计数排序的话，就需要创建长度为 1 亿的数组，不但严重浪费了空间，而且时间复杂度也随之升高。
因此计数排序只适用于元素值较为集中的情况。
当数列元素不是整数时，并不适用于计数排序。

如果数列中的元素都是小数，比如 3.1415，或是 0.00000001 这样子，则无法创建对应的统计数组，这样显然无法进行计数排序。

正是由于这两大局限性，才使得计数排序不像快速排序、归并排序那样被人们广泛适用。

Counting-sort(A, B) {maximum = max(A);minimum = min(A);int k = maximum - minimum + 1;let C[0..k] be a new array// initialionfor i=0 to k            C[i] = 0;for j=0 to A.length - 1C[A[j]-minimum]++;// C[i] now contains the number of elements equal to i.for i=1 to kC[i] = C[i] + C[i-1]// C[i] now contains the number of elements less than or equal to i. for j = A.length-1 downto 0B[C[A[j]-minimum]] = A[j];C[A[j]-minimum]--;
}

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