打爆一排气球，你能获得的最大分数是多少？

提示：题难没关系，见过一遍总比完全没见过的好，见过的话，再复习一遍，也就很快想起来了。

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打爆一排气球，你能获得的最大分数是多少？
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题目
一、审题
二、解题
总结

题目

有一个数组arr，arr[i]代表气球的分数，打爆气球i，意味着你能得一个[i-1]×[i]×[i+1]的分数score_i，你任意选取一个顺序，把所有的气球打爆，累计score_i的最大分数是多少？
当左边，或者右边没有气球的时候，分数是1×[i],或者[i]×1

一、审题

示例：325
（1）顺序1：012位置
——打3，得分为：1×3×2=6，气球剩下：25
——打2，得分为：1×2×5=10，气球剩下：5
——打5，得分为：1×5×1=5，气球剩下：
分数累加和为21分
（2）顺序2:102
——打1，得分为：3×2×5=30，气球剩下：35
——打3，得分为：1×3×5=15，气球剩下：5
——打5，得分为：1×5×1=5，气球剩下：
分数累加和为50分
自然顺序（2）要比（1）更大，我们要50
（3）别的顺序，你也要算出来，然后更新max分数

二、解题

这个题目，首先，0的左边没有球，权值肯定是1，,N-1位置右边没有球，权值也是1，还不如先处理一下arr
让help为N+2长度的数组
然后0和N+1放1，中间1–N为arr数组
像这样：

好，怎么求这个最大分数呢？
定义一个暴力递归代码：f(help,L,R)
打爆L–R范围上的气球，能得到的最大分数是多少？【隐含条件就是L-1和R+1位置这俩球是没有爆炸的，否则你没有办法算分数了】
那就要分几种情况了：
（1）先打爆L，得到一个分数[L-1][L][L+1]，然后还需要+f(L+1,R)
下次探索f(L+1,R)时，你L那已经爆了，应该×1了吧，但是，你既然是递归同一个函数f(help,L,R)，我们要求隐含条件就是L-1和R+1位置这俩球是没有爆炸的，否则你没有办法算分数了，你现在L都爆了，对于f(L+1,R)来说，你这个隐含条件根本没有满足！这么干不行的。

既然要保住隐含条件，不妨设我们后打爆谁？
（1）最后打爆L，那你L+1–R上已经先被打爆了，自然左边L-1没有被打爆，且右边那个没有被打爆的就是R+1，得到的分数是
[L-1][L][R+1]+f(help,L+1,R) ;

（2）最后打爆R，那你L–R-1上已经先被打爆了，自然左边L-1没有被打爆，且右边那个没有被打爆的就是R+1，得到的分数是
[L-1][R][R+1]+f(help,L,R-1)

（3）让L+1–R-1上任意一个位置i最后被打爆呢，也就是先打爆L–i-1和i+1–R上的气球，那得到的分数，自然是枚举：每一个i
f(help,L,i-1)+[i-1][i][i+1]+f(help,i+1,R)

然后我们要谁，要上面三种情况的max

主函数怎么调用呢，
因为处理过了arr为help，故直接调用f(help，1,N)即可，代表打爆1–N范围上的这N个气球，可以得到的最大分数是多少？

//假设f（L,R）是打爆所有L--R上的气球，能得到的最大的分数是多少呢？？？不妨设L-1和R+1一直没有被打爆，还在//本身递归打爆L--R就是意味着外面的还存在//恰好arr0和N-1整俩位置左右没有，就乘1，不妨给它加上算了[1,nums,1]这样的话，调用f(1,N)永远都有左边右边1没有爆炸public static int f(int[] nums, int L, int R){//基本情况，当L==R，就一个球，它最后爆炸，也就是当前必须打if (L == R) return nums[L - 1] * nums[L] * nums[R + 1];//只调用i，左右没有炸//然后如果还有更多的元素，那分几种情况//1)L最后爆炸--先打爆右边部分的最大分数+int max = f(nums, L + 1, R) + nums[L - 1] * nums[L] * nums[R + 1];//最后打爆L的分数//2)R最后爆炸--先打爆左边部分的分数+最后打爆R的分数max = Math.max(max, f(nums, L, R - 1) + nums[L - 1] * nums[R] * nums[R + 1]);//3)L+1,R-1中的某个位置i最后爆炸//三者取最大值//情况3就得枚举了,先打爆i左边的位置，再打爆右边的位置，最后加打爆i的得分for (int i = L + 1; i < R; i++) {max = Math.max(max, f(nums, L, i - 1) + f(nums, i + 1, R) + nums[L - 1] * nums[i] * nums[R + 1]);}return max;}//主函数，调整arrpublic static int maxValueShootingBall(int[] nums){if (nums == null || nums.length == 0) return 0;int N = nums.length;int[] help = new int[N + 2];help[0] = 1;help[N + 1] = 1;for (int i = 0; i < N; i++) {help[i + 1] = nums[i];}return f(help, 1, N);//0和N+1全是1，永远不会爆炸}

既然是范围上的尝试，填表就非常固定了，dp[i][j]代表：打爆i–j范围上的气球，能得到的最大分数是多少？
我们要的结果就是dp[1][N]

i和j都是0–N+1长度
故填表为N+2平方的表，L<=R，这种填表模式都是固定的
（1）先填主对角线，i=j，就剩一个气球了，dp[i][i]=[i-1][i][i+1];
（2）再填副对角线，j=i+1,俩气球，后打爆i【那就呀先打爆i+1=j】，或者后打爆j【那就要先打爆i】，2者取最大值：dp[i][i]=max(dp[i + 1][i + 1]+[i-1][i][j+1], dp[i][i][i-1][j][j+1] );——第一项：因为你先打爆i+1–i+1范围，即气球j，第二项，因为你先打爆i–i范围，就气球i；
（3）再填任意位置dp[i][i]，暴力递归怎么填，dp[i][i]就怎么填！

这种填表的模式非常固定的，一点都不麻烦，关键在于暴力递归的代码怎么写，理解清楚之后，这个表也就很容易搞定了。

//改DP，范围的尝试，常规套路填表是固定的格式public static int maxValueShootingBallDP(int[] nums){if (nums == null || nums.length == 0) return 0;int N = nums.length;int[] help = new int[N + 2];help[0] = 1;help[N + 1] = 1;for (int i = 0; i < N; i++) {help[i + 1] = nums[i];}//下面都是处理help,根据N来收拾int[][] dp = new int[N+2][N+2];//主对角for (int i = 1; i <= N; i++) {dp[i][i] = help[i - 1] * help[i] * help[i + 1];}//副对角--i后爆炸，或者i+1后爆炸for (int i = 1; i < N; i++) {dp[i][i + 1] = Math.max(dp[i + 1][i + 1] + help[i - 1] * help[i] * help[i + 2],dp[i][i] + help[i - 1] * help[i + 1] * help[i + 2]);}//任意位置，看递归for (int i = N - 2; i >= 1 ; i--) {for (int j = i + 2; j <= N; j++) {int max = dp[i + 1][j] + help[i - 1] * help[i] * help[j + 1];//最后打爆i的分数//2)j最后爆炸--先打爆左边部分的分数+最后打爆j的分数max = Math.max(max, dp[i][j - 1] + help[i - 1] * help[j] * help[j + 1]);//3)L+1,R-1中的某个位置i最后爆炸//三者取最大值//情况3就得枚举了,先打爆i左边的位置，再打爆右边的位置，最后加打爆i的得分for (int k = i + 1; k < j; k++) {max = Math.max(max, dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j] + help[i - 1] * help[k] * help[j + 1]);}dp[i][j] = max;}}return dp[1][N];}

测试代码：

public static void test(){int[] nums = {3,2,5};System.out.println(maxValueShootingBall(nums));System.out.println(maxValueShootingBallDP(nums));}public static void main(String[] args) {test();}

总结

提示：重要经验：

1）L–R范围上的尝试，往往都是讨论L和R位置处怎么操作，当然也不排除这种枚举素有位置的情况，另外，先处理L还是后处理L，看题决定；这里就是后打爆L
2）L–R范围上的尝试，填表非常固定的模式，很容易，摸清楚暴力递归的代码，这个表很容易就填好了。

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