题目

计算行列式
∣A∣=∣xyzwyxwzzwxywzyx∣.\left| A \right|=\left| \begin{matrix} x & y & z & w \\ y & x & w & z \\ z & w & x & y \\ w & z & y & x \\ \end{matrix} \right|.∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣xyzwyxwzzwxywzyx∣∣∣∣∣∣∣∣.

求解

首先基于观察，对该四阶行列式采取行线性叠加、提取公因数的方式降阶为三阶行列式：
∣A∣=∣xyzwyxwzzwxywzyx∣→=r2,3,4→r1∣(x+y+z+w)(x+y+z+w)(x+y+z+w)(x+y+z+w)yxwzzwxywzyx∣→=提取r1公因数(x+y+z+w)(x+y+z+w)∣1111yxwzzwxywzyx∣→=−c1→c2,3,4(x+y+z+w)∣1000yx−yw−yz−yzw−zx−zy−zwz−wy−wx−w∣→=按r1展开(x+y+z+w)⋅1⋅(−1)1+1⋅∣x−yw−yz−yw−zx−zy−zz−wy−wx−w∣=:(x+y+z+w)∣B∣.(1)\begin{aligned} & \left| A \right|=\left| \begin{matrix} x & y & z & w \\ y & x & w & z \\ z & w & x & y \\ w & z & y & x \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{r_{2,3,4} \to r_1}}\left| \begin{matrix} \left( x+y+z+w \right) & \left( x+y+z+w \right) & \left( x+y+z+w \right) & \left( x+y+z+w \right) \\ y & x & w & z \\ z & w & x & y \\ w & z & y & x \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{提取r_1公因数(x+y+z+w)}}\left( x+y+z+w \right)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ y & x & w & z \\ z & w & x & y \\ w & z & y & x \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{-c_1 \to c_{2,3,4}}}\left( x+y+z+w \right)\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ y & x-y & w-y & z-y \\ z & w-z & x-z & y-z \\ w & z-w & y-w & x-w \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{按r_1展开}}\left( x+y+z+w \right)\centerdot 1\centerdot {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\centerdot \left| \begin{matrix} x-y & w-y & z-y \\ w-z & x-z & y-z \\ z-w & y-w & x-w \\ \end{matrix} \right| \\ & =:\left( x+y+z+w \right)\left| B \right|. \\ \end{aligned} \tag{1}∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣xyzwyxwzzwxywzyx∣∣∣∣∣∣∣∣r2,3,4→r1=∣∣∣∣∣∣∣∣(x+y+z+w)yzw(x+y+z+w)xwz(x+y+z+w)wxy(x+y+z+w)zyx∣∣∣∣∣∣∣∣提取r1公因数(x+y+z+w)=(x+y+z+w)∣∣∣∣∣∣∣∣1yzw1xwz1wxy1zyx∣∣∣∣∣∣∣∣−c1→c2,3,4=(x+y+z+w)∣∣∣∣∣∣∣∣1yzw0x−yw−zz−w0w−yx−zy−w0z−yy−zx−w∣∣∣∣∣∣∣∣按r1展开=(x+y+z+w)⋅1⋅(−1)1+1⋅∣∣∣∣∣∣x−yw−zz−ww−yx−zy−wz−yy−zx−w∣∣∣∣∣∣=:(x+y+z+w)∣B∣.(1)
然后观察到∣B∣\left| B \right|∣B∣中b21,b31{{b}_{21}},{{b}_{31}}b21,b31都有出现w−zw-zw−z，b12,b32{{b}_{12}},{{b}_{32}}b12,b32都有出现w−yw-yw−y，b13,b23{{b}_{13}},{{b}_{23}}b13,b23都有出现y−zy-zy−z。任选一组，进行相应的行线性抵消，将∣B∣\left| B \right|∣B∣降至二阶：
∣B∣→=r3→r2∣x−yw−yz−y0x+y−z−wx+y−z−wz−wy−wx−w∣→=提取r2公因数(x+y−z−w)(x+y−z−w)∣x−yw−yz−y011z−wy−wx−w∣→=−c2→c3(x+y−z−w)∣x−yw−yz−w010z−wy−wx−y∣→=按r2展开(x+y−z−w)⋅(1⋅(−1)2+2⋅∣x−yz−wz−wx−y∣)=(x+y−z−w)[(x−y)2−(z−w)2]=平方和公式(x+y−z−w)(x−y−z+w)(x−y+z−w).(2)\begin{aligned} & \left| B \right|\xrightarrow[{=}]{{r_3 \to r_2}}\left| \begin{matrix} x-y & w-y & z-y \\ 0 & x+y-z-w & x+y-z-w \\ z-w & y-w & x-w \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{提取r_2公因数(x+y-z-w)}}\left( x+y-z-w \right)\left| \begin{matrix} x-y & w-y & z-y \\ 0 & 1 & 1 \\ z-w & y-w & x-w \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{-c_2 \to c_3}}\left( x+y-z-w \right)\left| \begin{matrix} x-y & w-y & z-w \\ 0 & 1 & 0 \\ z-w & y-w & x-y \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{按r_2展开}}\left( x+y-z-w \right)\centerdot \left( 1\centerdot {{\left( -1 \right)}^{2+2}}\centerdot \left| \begin{matrix} x-y & z-w \\ z-w & x-y \\ \end{matrix} \right| \right) \\ & =\left( x+y-z-w \right)\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( z-w \right)}^{2}} \right] \\ & \xlongequal{平方和公式}\left( x+y-z-w \right)\left( x-y-z+w \right)\left( x-y+z-w \right). \\ \end{aligned} \tag{2}∣B∣r3→r2=∣∣∣∣∣∣x−y0z−ww−yx+y−z−wy−wz−yx+y−z−wx−w∣∣∣∣∣∣提取r2公因数(x+y−z−w)=(x+y−z−w)∣∣∣∣∣∣x−y0z−ww−y1y−wz−y1x−w∣∣∣∣∣∣−c2→c3=(x+y−z−w)∣∣∣∣∣∣x−y0z−ww−y1y−wz−w0x−y∣∣∣∣∣∣按r2展开=(x+y−z−w)⋅(1⋅(−1)2+2⋅∣∣∣∣x−yz−wz−wx−y∣∣∣∣)=(x+y−z−w)[(x−y)2−(z−w)2]平方和公式(x+y−z−w)(x−y−z+w)(x−y+z−w).(2)
由式（1）和式（2），最终可得
∣A∣=(x+y+z+w)(x+y−z−w)(x−y−z+w)(x−y+z−w).\left| A \right|=\left( x+y+z+w \right)\left( x+y-z-w \right)\left( x-y-z+w \right)\left( x-y+z-w \right).∣A∣=(x+y+z+w)(x+y−z−w)(x−y−z+w)(x−y+z−w).

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《高等代数学》（姚慕生），例1.5.10

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