离散数学 --- 特殊关系 --- 等价关系与集合的划分

2024-04-29 13:07:56

第一部分 --- 等价关系

1.等价关系所需要的三个性质 --- 自反的，对称的，传递的必须同时具备，缺一不可

2.同余关系纠正：同余关系需要三个数，一个正整数m，和两个整数a,b，如果整数(a - b)能够被m整除的话，则称a和b是同余关系（需要注意的是整数0能够被仍和整数整除，整除的结果为0）

1.关于第二点：负号不影响整除关系

1通过特定规则（这个特定规则就是上面的这个生成元规则）获取的等价关系的子集称为等价类

2.任何等价类都是非空集合，因为在这个等价类中一定包含了生成元本身

3.有些等价类是完全相同的，有些等价类是完全不一样的

4.所有等价类并在一起就能够得到总的集合A

1.第二点的b证明处：证明两个集合没有交集的常用方法是反证法 --- 即证明有交集是矛盾的来得出没有交集这个结论

2.关于第三点：两个集合互为子集则这两个集合等价

1.商集其实就是集合的集合

2.在集合中相同的元素只需要写一个，不用重复写

最后一句话的意思就是：直到最后给定集合中的所有的元素都被找完

第二部分 --- 集合的划分

1.注意这里面的Si都是非空集合A的非空子集

1.通过等价关系，等价类和商集对集合进行划分

1.关系的复合运算是左右两个关系中间一个圈，左右两个集合中间一个乘号这是笛卡尔积 --- 得到的结果是一个序偶集合，其中序偶的定义域由称号左边的集合元素提供，值域由乘号右边的集合元素提供

2.上面这个等价关系是由每个划分的块集合的全关系序偶集合取并集得到的一个总的序偶集合，且每个块集合的全关系序偶集合都不一样（因为每个块集合的元素都不相同），所以等价关系这个序偶集合中的任意一个序偶元素都来自于某一个块集合的全关系序偶集合

一个集合上的所有等价关系个数与这个集合的所有划分方式的个数相等

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