微分几何 Class 2 欧氏空间

欧氏空间

在上完上一节课之后，我才意识到，欧氏空间和欧氏向量空间原来不是同一个东西。
但是在介绍欧氏空间之前，我们首先来了解一下什么叫做仿射空间。

Part One 仿射空间

定义：仿射空间

设VVV是n维向量空间，AAA是一个非空集合，AAA中元素称为点。
如果存在映射G:A×A→VG:A\times A\rightarrow VG:A×A→V，它把AAA中任意一对有序的点P,QP,QP,Q映射为VVV中的一个向量PQ→∈V\overrightarrow{PQ}\in VPQ∈V，且满足以下条件：

PP→=0⃗,∀P∈A\overrightarrow{PP}=\vec{0},\forall P\in APP=0,∀P∈A;
∀P∈A,∀v∈V\forall P\in A,\forall v\in V∀P∈A,∀v∈V，存在唯一的一点Q∈AQ\in AQ∈A，使得PQ→=v\overrightarrow{PQ}=vPQ=v;
∀P,Q,S∈A\forall P,Q,S\in A∀P,Q,S∈A，成立恒等式PQ→+QS→=PS→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QS}=\overrightarrow{PS}PQ+QS=PS，

则称AAA是n维仿射空间，且称VVV是与仿射空间AAA伴随的向量空间。

注：

注意映射→\rightarrow→的定义域A×AA\times AA×A和值域VVV。虽然P,QP,QP,Q都是集合AAA中的点，但是作为值的PQ→\overrightarrow{PQ}PQ是向量空间VVV中的向量元素，不是AAA中的东西。
AAA是点的空间，VVV是向量的空间。区别在于是否有固定的坐标系。

但是我可以通过映射GGG在AAA中建立类似于VVV中的坐标系。
首先我取AAA中一点OOO，并称其为空间AAA的原点，对AAA中其余任意一点PPP,我称对应的VVV中向量OP→\overrightarrow{OP}OP为点PPP的向径。
这样，我便能建立起从点集AAA到向量空间VVV的双射FFF:
F:P→G(O,P)=OP→，P∈A,OP→∈V.F:P\rightarrow G(O,P)=\overrightarrow{OP}，P\in A,\overrightarrow{OP}\in V.F:P→G(O,P)=OP，P∈A,OP∈V.

对应AAA中一个点PPP,由映射GGG知道必然存在OP→∈V\overrightarrow{OP}\in VOP∈V与之对应。
对V中任意一个向量vvv，由仿射空间定义中的条件(2)可以知道，必然存在一点P∈AP\in AP∈A，使得G(O,P)=OP→G(O,P)=\overrightarrow{OP}G(O,P)=OP。

注：欧几里得第五公理(平行公理)在仿射空间中也成立。（我想就仿射空间中的五条欧几里得公理写一个支线篇，存坑）

建立完AAA和VVV之间的一一映射，下面我们仿照VVV在AAA中建立坐标系。

定义：标架

设AAA是n维仿射空间，VVV是伴随的向量空间。任取AAA中一点OOO以及VVV中一个基底{vi}\{v_i\}{vi}，则称图形{O;vi}\{O;v_i\}{O;vi}为仿射空间AAA中一个标架。

在仿射空间AAA中取定一个标架{O;vi}\{O;v_i\}{O;vi}就相当于在AAA中建立了一个坐标系，此时，AAA便与其伴随向量空间的伴随空间RnR^nRn产生了一一对应关系：
P↔OP→=∑i=1nλivi↔(λ1,...,λn)P\leftrightarrow \overrightarrow{OP}=\sum_{i=1}^n \lambda^iv_i\leftrightarrow(\lambda^1,...,\lambda^n)P↔OP=∑i=1nλivi↔(λ1,...,λn).
其中数组(λi)(\lambda^i)(λi)称为点PPP在架构{O;vi}\{O;v_i\}{O;vi}下的坐标。

Part Two 欧氏空间

定义： 欧氏空间
设(V,<⋅,⋅>)(V,<\cdot,\cdot>)(V,<⋅,⋅>)是n维欧氏向量空间，则以VVV为伴随向量空间的仿射空间称为n维欧氏空间，记为EnE^nEn.欧氏空间EnE^nEn中任意两点P,QP,QP,Q之间的距离定义为
d(P,Q)=PQ→⋅PQ→.d(P,Q)=\sqrt{\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PQ}}.d(P,Q)=PQ⋅PQ.

p.s.:欧氏向量空间：定义了内积的有限维向量空间。具体内容可查看微分几何 Class 1 向量空间.

这样的话我们就能得到向量空间，欧氏向量空间，仿射空间，欧氏空间间的大致关系图：

在其中，欧氏空间与仿射空间是点的空间，而向量空间与欧氏向量空间是向量的空间。我们可以通过选定原点后同构于向量空间的想法来研究点的空间。

当我们研究RnR^nRn时，会发现它作为一个点的空间时，可以把它看做RnR^nRn向量空间的仿射空间，而且其本身便定义有欧几里得内积，因而RnR^nRn既是欧氏空间，又是欧氏向量空间。

Part 3 欧氏空间中的正交标架变换

欧氏空间EnE^nEn是点的空间，其伴随向量空间KnK^nKn为欧氏向量空间。在EnE^nEn中选定一个点OOO之后，对于点PPP便会有一个坐标(p1,p2,...,pn)(p_1,p_2,...,p_n)(p1,p2,...,pn)，其得到坐标的过程如下:
P∈En→G(O,P)=v∈Kn→(p1,p2,...,pn)∈Kn∗P\in E^n \rightarrow G(O,P) =v\in K^n\rightarrow (p_1,p_2,...,p_n)\in {K^{n}}^*P∈En→G(O,P)=v∈Kn→(p1,p2,...,pn)∈Kn∗
上述式子中Kn∗{K^{n}}^*Kn∗是欧氏向量空间KnK^nKn中的伴随空间。

那么，当原点选择改变时，比如换成了O′O'O′，点PPP对应的坐标也会随之改变，记为(p1′,p2′,...,pn′)(p_1',p_2',...,p_n')(p1′,p2′,...,pn′)。其得到坐标的过程如下：
P∈En→G(O′,P)=v′∈Kn→(p1′,p2′,...,pn′)∈Kn∗P\in E^n \rightarrow G(O',P) =v'\in K^n\rightarrow (p_1',p_2',...,p_n')\in {K^{n}}^*P∈En→G(O′,P)=v′∈Kn→(p1′,p2′,...,pn′)∈Kn∗

那么G(O′,P)=G(O′,O)+G(O,P)G(O',P)=G(O',O)+G(O,P)G(O′,P)=G(O′,O)+G(O,P)相当于对坐标进行了一个平移变换T\mathscr{T}T，即是说(p1′,p2′,...,pn′)=(p1,p2,...,pn)+T(p_1',p_2',...,p_n')=(p_1,p_2,...,p_n)+\mathscr{T}(p1′,p2′,...,pn′)=(p1,p2,...,pn)+T.

但是在新的正交标架下，{e1,e2,e3}\{e_1,e_2,e_3\}{e1,e2,e3}与{e1′,e2′,e3′}\{e_1',e_2',e_3'\}{e1′,e2′,e3′}未必相同,因为都是正交系，因而其存在一个正交变换O\mathscr{O}O.

因而相比较于标准正交坐标系，新坐标系下PPP点的坐标相当于进行了平移与正交变换：
(p1′,p2′,...,pn′)=((p1,p2,...,pn)+T)∗O(p_1',p_2',...,p_n')=((p_1,p_2,...,p_n) +T)*O(p1′,p2′,...,pn′)=((p1,p2,...,pn)+T)∗O

其中：

当∣O∣>0|O|>0∣O∣>0，表示保证了正交系的左手/右手系，称为刚体运动；
当∣O∣<0|O|<0∣O∣<0，表示改变了正交系的左手/右手系，称为镜面对称.

(Question:如果考虑高维情形，会不会出现非镜面对称的情况？)

上述的变换我们称之为一个合同变换，合同变换保证向量的距离与内积不变；容易证明，每一组平移变换与正交变换(T,O)(T,O)(T,O)也对应着一种合同变换，对应着欧氏空间中的一组正交框架。

而且这些合同变换可构成一个合同变换群(一个可交换群)。

到这里，我们简略了解了我们要研究的问题的背景：欧氏空间，从下面一节课开始，我们便开始研究E2,E3E^2,E^3E2,E3上的曲线，曲面的几何性质。