专题五：DFS深度优先搜索

前言

本专题将讲解算法竞赛中最常用的算法dfs深度优先搜索，也叫回溯搜索法或者“暴力搜索”法，也就是说在比赛的时候就算遇到没有思路的题，也可以用递归实现暴力搜索来骗分。有的同学可能会过多的去纠结一些概念，比如递归、暴力搜索、回溯法、dfs等，其实我们大可不必去纠结，因为dfs和回溯搜索法本身就是一个算法，是用递归操作来实现的，而“暴力搜索”则是民间赋予的称号！！ 以下内容，我统称为回溯法（我最喜欢的名字）！

什么是回溯法

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，也就是暴力搜索。

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

递归里面嵌套着循环，为单层搜索逻辑。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯法模板

1 、回溯函数模板返回值以及参数

在回溯算法中，我的习惯是函数起名字为backtracking，这个起名大家随意。

回溯算法中函数返回值一般为void。

再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。

void backtracking(参数)

2、 回溯函数终止条件

什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

所以回溯函数终止条件伪代码如下：

if (终止条件) {存放结果;return;
}

3 、回溯搜索的遍历过程

在上面我们提到了，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

分享一张代码随想录的图

回溯函数遍历过程伪代码如下：

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。

backtracking这里自己调用自己，实现递归。

大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

回溯算法模板框架代码如下

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

下面将会列举一些例题以及真题。后续会继续出一期专门的练习题！

递归实现指数型枚举

题目

代码及注释

方法一：递归枚举法（子集）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int n;vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(int n, int startIndex) {result.push_back(path); // 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉自己if (startIndex > n) { // 终止条件可以不加return;}for (int i = startIndex; i <=n; i++) {path.push_back(i);backtracking(n, i + 1);path.pop_back();}}int main(){cin>>n;backtracking(n,1);//记住二维向量的输出方式！！for(int i=0 ; i <result.size(); i ++ )//把所有方案输出 {for(int j=0;j<result[i].size();j++){printf("%d ",result[i][j]);}puts("");}}

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