深度学习基础 - 余弦定理

深度学习基础 - 余弦定理

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AD=bcos⁡A,CD=bsin⁡A,A D=b \cos A, \\C D=b \sin A, AD=bcosA,CD=bsinA,
BD=AB−ADBD=c−bcos⁡AB D=A B-A D \\ B D=c-b \cos A BD=AB−ADBD=c−bcosA
根据是勾股定理
BC2=BD2+CD2=(c−bcos⁡A)2+(bsin⁡A)2=c2−2cbcos⁡A+b2整理得 a2=b2+c2−2bccos⁡A\begin{aligned} B C^{2} &=B D^{2}+C D^{2} \\ &=(c-b \cos A)^{2}+(b \sin A)^{2} \\ &=c^{2}-2 c b \cos A+b^{2} \\ \mathbb{整理得} \, a^{2}=& b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A \end{aligned} BC2整理得a2==BD2+CD2=(c−bcosA)2+(bsinA)2=c2−2cbcosA+b2b2+c2−2bccosA

也就是a2=b2+c2−2bccos⁡α也就是 a^{2}= b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \alpha 也就是a2=b2+c2−2bccosα
中间计算会用到
cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ)=1\cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)=1 cos2(θ)+sin2(θ)=1
可以看三角函数
同理可得其他的式子

c2=a2+b2−2abcos⁡γb2=c2+a2−2accos⁡βa2=b2+c2−2bccos⁡α\begin{array}{l} c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \gamma \\ {b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 a c \cos \beta} \\ {a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \alpha}\end{array} c2=a2+b2−2abcosγb2=c2+a2−2accosβa2=b2+c2−2bccosα

转换下就是
cos⁡α=b2+c2−a22bccos⁡β=c2+a2−b22cacos⁡γ=a2+b2−c22ab\begin{aligned} \cos \alpha &=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \\ \cos \beta &=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a} \\ \cos \gamma &=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \end{aligned} cosαcosβcosγ=2bcb2+c2−a2=2cac2+a2−b2=2aba2+b2−c2

如果利用正弦定理是这样的

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=csin⁡(A+B)\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{c}{\sin (A+B)} sinAa=sinBb=sinCc=sin(A+B)c

bsin⁡A=asin⁡Bb \sin A=a \sin B bsinA=asinB
csin⁡A=asin⁡(A+B)=asin⁡Acos⁡B+acos⁡Asin⁡Bc \sin A=a \sin (A+B)=a \sin A \cos B+a \cos A \sin B csinA=asin(A+B)=asinAcosB+acosAsinB

a2=(c−bcos⁡A)2+(bsin⁡A)2=b2+c2−2bccos⁡Aa^{2}=(c-b \cos A)^{2}+(b \sin A)^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A a2=(c−bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2−2bccosA
结果是
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A a2=b2+c2−2bccosA

sin⁡C=sin⁡(A+B)\sin C=\sin (A+B)sinC=sin(A+B)的理由是
∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} ∠A+∠B+∠C=180∘
sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−∠C)=sin⁡C\sin (A+B)=\sin \left(180^{\circ}-\angle C\right)=\sin C sin(A+B)=sin(180∘−∠C)=sinC
也就是
sin⁡C=sin⁡(π−(A+B))=sin⁡(A+B)\begin{array}{l}{\sin C=\sin (\pi-(A+B))} \\ {=\sin (A+B)}\end{array} sinC=sin(π−(A+B))=sin(A+B)

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