确定部分分式中待定系数的留数方法

2024-04-03 21:17:28

确定部分分式中待定系数的留数方法

在将有理真分式化为确定部分分式和的过程中，可以使用留数对部分分式的系数进行求解。

这里介绍一篇论文，证明可以在论文中查看
设有理真分式
f(x)=Pm(x)Qn(x)f(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)} f(x)=Qn(x)Pm(x)
其中，
m<nm\lt n m<n
分为以下两种情况进行讨论

a. Q(x)=0的根均为单根

.
即，此时要确定的系数就是f（x）在对应极点上的留数

b.根中有重根

单根的确定方法同a情况中的确定方法，对于重根,设x₁ 为r重根,考虑B_k
Bk=Res[(x−x1)k−1f(x),x1]此时x1为(x−x1)k−1f(x)的r−(k−1)=r−k+1级极点B_k=Res[(x-x_1)^{k-1}f(x),x_1 ] \\ 此时x_1为(x-x_1)^{k-1}f(x)的r-(k-1)=r-k+1级极点 Bk=Res[(x−x1)k−1f(x),x1]此时x1为(x−x1)k−1f(x)的r−(k−1)=r−k+1级极点
利用留数极点计算公式得，
Bk=1(r−k)!lim⁡x→x1[(x−x1)rf(x)](r−k)=1(r−k)![(x−x1)rf(x)](r−k)∣x=x1B_k=\frac{1}{(r-k)!}\lim_{x \to x_1} [(x-x_1)^{r}f(x)]^{(r-k)} \\{\color{Blue}=\frac{1}{(r-k)!}[(x-x_1)^rf(x)]^{(r-k)}|_{x=x_1} } Bk=(r−k)!1x→x1lim[(x−x1)rf(x)](r−k)=(r−k)!1[(x−x1)rf(x)](r−k)∣x=x1

注：上述结论虽然是在实根条件下得出的，但经过博主研究，上述结论在根为复数单根，以及复数重根的条件下同样成立。

c.总结——基本思想

要将有理真分式f(x)=Pm(x)Qn(x)在实数范围内化为部分分式和的形式，可将ｆ(x)视为特殊的复变函数ｆ(z)先将ｆ(z)化为部分分式和的形式,根据复变函数的积分和留数理论可得其待定系数为ｆ(z)在极点处的留数要将有理真分式\\ f(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \\在实数范围内化为部分分式和的形式，可将ｆ(x)视为特殊的复变函数ｆ(z) \\先将ｆ(z)化为部分分式和的形式,根据复变函数的积分和留数理论可得 \\其待定系数为ｆ(z)在极点处的留数要将有理真分式f(x)=Qn(x)Pm(x)在实数范围内化为部分分式和的形式，可将ｆ(x)视为特殊的复变函数ｆ(z)先将ｆ(z)化为部分分式和的形式,根据复变函数的积分和留数理论可得其待定系数为ｆ(z)在极点处的留数

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