mathematica动态模型的建模分析

2024-05-30 03:58:31

题目

1、动态模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。

（1）求解微分方程y'-xy=3x

（2）求微分方程x2y''-2xy'+2y=3x满足条件y(1)=0，y'(1)=1的特解。

（3）求微分方程组的通解。

（4）求函数f(x)=x3-4x+3在区间[-2，2]的极值。

（5）已知一组数据(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)，求已知数据的拟合函数。

（6）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅰ（指数模型）的通解与特解，并绘图。

（7）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅱ（阻滞模型，SI模型），的通解与特解，并绘图（三种形状： S形状，正态形状，钟形）。

（8）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅲ（SIS模型），的通解与特解。

（9）课程第7讲中的问题。在一片没有管理的林区，硬材树与软材树竞争可用的土地和水分。越可用的硬材树生长得越慢。软材树靠生长快、有效消耗水分和土壤养分与硬材树竞争。硬材树靠生长的高度与软材树竞争，它们遮挡了小树的阳光，也更抗疾病。这两种树能否同时在一片林区中无限期地共存，或者一种树是否会迫使另一种树灭绝？应用Mathematica求解以下方程。分析问题。

2、写出简短程序，绘制特殊图形

（1）在Mathematica中绘制如下的星空图。

（2）在Mathematica中绘制心形图。提示：心形曲线的方程为，r=a(1－sinθ)

（3）在Mathematica中绘制三叶草或四叶草的图形。

（4）在Mathematica中绘制瓶子或罐子。

（5）在Mathematica中绘制海螺。

（6）在Mathematica中绘制魔方。

（7）在Mathematica中绘制漫画人形图。

（8）绘制其它任何，你觉得有意思的图形，现实存在的，或幻想的，或未来的图形。

解答过程

1、动态模型的建模分析

（1）根据题目一要求，输入微分方程，通过DSolve命令得到微分方程求解结果如下图所示：

图 1 - 微分方程求解

（2）根据题目二要求，输入微分方程，通过DSolve命令得到微分方程特解结果如下图所示：

图 2 - 微分方程特解

（3）根据题目三的要求，输入微分方程组，通过DSolve命令求得微分方程组的特解如下图所示：

图 3 - 微分方程组求特解

（4）根据题目四的要求，通过Plot和求极值命令得到函数在[-2,2]上的极值如下图所示：

图 4 - 求函数极值

（5）根据题目五的要求，通过Fit和Plot等函数命令得到改组数据的拟合数据，计算过程如下图所示：

首先求数据拟合

图 5 - 求数据拟合

Plot和Show等命令画出数据的散点图以及相关拟合的函数图像进行比较，比较结果如下图所示

图 6 - Plot作图

同时可以通过Show[图形变量组,可选项]的形式，将多个函数的图像画在同一坐标系中，绘制结果如下图所示：

图 7 - Show作图

根据绘制结果分析，可以发现第二次比第一次的拟合程度高，但从简单实用的角度，可以选择第一个拟合函数

（6）根据题目六的要求，利用mathematica求解传染病模型，求解器通解和特解，并绘制图案。

通过计算可以的到通解和特解分别如下图所示：

图 8 - 通解和特解

绘制图案，将a=1，k=1如下图所示：

图 9 - 绘制图案

（7）根据题目七的要求，利用mathematica求解传染病模型2，求得其通解和特解，并绘制三种图案。

通过计算可以的到通解和特解分别如下图所示：

图 10 - 通解和特解

绘制图案，将a=1，k=1如下图所示：

S型曲线：

图 11 - S型曲线

正态形状：

图 12 - 正态形状

钟型曲线：

图 13 - 钟型曲线

（8）根据题目八的要求，利用mathematica求解传染病模型Ⅲ，求得其通解和特解，得到结果如下图所示：

图 14 - 通解求解

（9）根据题目九的要求，利用mathematica求解下列方程：

通过求解得到结果如下图所示：

图 15 - 求解方程

2、写出简短程序，绘制特殊图形

（1）通过查阅相关资料，根据题目要求画氢原子电子云（(n,m,l)=(4,0,3)）示意图，利用Mathematica绘制可得到近似于星空图如下：

图 16 - 星空图绘制

（2）在Mathematica中绘制心形图。根据心形曲线的方程为，r=a(1－sinθ)绘制得到心形图如下：

图 17 - 心形图绘制

（3）三叶草曲线

首先确定极坐标方程为r(x)=1+cos(3x)+1.5×[sin(3x)]^2，范围为[0,2π]，使用PolarPlot命令在Mathematica即可绘制一个相比官方实例较为复杂的三叶草曲线，绘制图案如下图所示：

图 18 - 三叶草曲线

（4）在Mathematica中绘制瓶子或罐子。

通过查阅资料，通过Manipulate使用RevolutionPlot3D三维旋转图命令得到一个花瓶，生成花瓶如下：

图 19 - 花瓶绘制

（5）在Mathematica中绘制海螺。

通过查阅资料，通过Manipulate使用交互操作得到一个可以变形得到海螺的命令，并生成海螺如下：

图 20 - 绘制海螺图

（6）在Mathematica中绘制魔方。

通过查阅资料，通过Manipulate利用三维图像，数组等知识，绘制魔方如下图所示：

图 21 - 魔方绘制

（7）在Mathematica中绘制漫画人形图。

图 22 - 绘制人形图

（8）绘制其它任何，你觉得有意思的图形，现实存在的，或幻想的，或未来的图形。

图 23 - 绘制随意图案

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