CRC校验值是如何计算出来的？
2024-03-31 10:26:00
本文在我已在知乎发过地址-->addr
最近用到CRC-16/CCITT-FALSE算法校验，找了很多资料，
发现代码和线上校验的值对不上，所以花了时间深入了解其原理，并
将
CRC-8/CRC-8/ITU/ROHC/MAXIM
CRC-16/IBM/MAXIM/USB/MODBUS/CCITT/CCITT-FALSE/X25/XMODEM/DNP
CRC-32/MPEG-2
这些校验算法都实现了一遍，
大部分算法实现都有普通的遍历校验
全部算法都有查表法实现的代码，
每个算法都是独立单个函数点击源码地址-->addr
1.什么是CRC
CRC：循环冗余校验
以CRC-32为例
是根据CRC-32的生成多项式x32+x26+x23+x22+x16+x12+x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+1
计算出任意字符或字符串的一个32位值
作用：用来核实数据传输/保存的正确性和完整性2.什么生成多项式
以CRC-32的生成多项式x32+x26+x23+x22+x16+x12+x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+为例
其数学生成多项表达式如下GF(2)=k*x^32+k*x^31+....k*x^1+1CRC多项式的计算是以GF(2)(2元素伽罗瓦域)多项式算术为数学基础的GF(2):2元素伽罗瓦域,其加减法可认为是无进位的二进制加减法，这样的话相当于两个bit位的异或运算因为是2元素，x的系数K的取值为0和1
如此CRC-32的生成多项式可以转换为二进制(幂次对应二进制位的位置，系数对应1和0)====二进制==>10000100110000010001110110110111b====16进制==>0x84C11DB7
但是CRC-32的生成多项式的16进制表示法：0x04C11DB7
这是因为16进制表示法去除了最高次项,之所以这么写是由其计算方式决定，
这个后面会讲到。3.CRC的计算原理
将要校验的数据看作一个多项式：NM
生成多项为G
校验值CRC=NM除G的余数4.GF(2)多项式之间的计算
1.多项式之间的加减法即系数K之间进行模2算术执行，本质上就是二进制的异或运算，模2运算加减法都是一样的
例如多项式A=x^3+x^2+1多项式B=x^3+x^1+1A+B=:A和B x^3的系数都为1，异或结果K=0，K*x^3=0A的x^2的系数k=1,B的x^2的系数k=0,异或结果k=1 相加结果是K*x^2=1*x^2A的x^1的系数0，B的该位系数为1，相加结果为 1*x^1A和B的x^0的系数都为1，相加结果为0A+B=x^2+x 2.多项式之间的乘法与普通多项式一样，只是各项在相加时按照模2算术执行A*B=(x^3+x^2+1)(x^3+x^1+1)=(x^(3+3)+x^(3+1)+x^(3+0))+(x^(2+3)+x^(2+1)+x^(2+0))+(x^3+x^1+1) =(x^6+x^4+x^3)+(x^5+x^3+x^2)+(x^3+x^1+1) =x^6+x^5+x^4+x^3+x^3+x^2+x^1+13.多项式之间的除法与普通多项式一样，只是各项在相加时按照模2减法算术执行C=x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x
C/B=下图运算方式商为：X^4+X^3+1余数为：X^2+1 
5.以生成多项式x^3 + x + 1来探讨CRC的二进制数据的计算过程
将长度为m位的信息对应一个GF(2)的多项式M，该数据是从高位到低位传输的m=11100110====对应的多项式===== M=x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x发送端和接收端约定了一个次数为r的GF(2)多项式G,G称为生成多项式
比如 G=1011=x^3 + x + 1 r=3 (CRC-8的r=8,CRC16的r=16)在m后面加上r个0的多项式NM
NM=m+r个0=11100110000=x^10+x^9+x^8+x^5+x^4NM与M的关系如下NM=M*x^r=(x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x)*x^3=x^10+x^9+x^8+x^5+x^4NM/G 获得的对应r长度的余数就是校验码了
计算步骤看下图注意：除数G应该按照生成多项式来转为二进制，而不是直接取它的16进制表示，因为16进制表示法去掉了最高次项
发送端将m+R(校验码)发送到接收端
接收端可以根据NM以及G生成多项式计算出校验码比较
或者
接受端可以用(NM或运算R)/G 判断余数是否为0下面是一些生成多项式G
注意：G应该按照生成多项式来转为二进制，而不是直接取它的16进制表示，因为16进制表示法去掉了最高次项
6.CRC8代码的几种实现方式
以CRC-8 多项式为x^8+x^2+x+1 16进制表示法 0x07 为例
方式一，以上面的竖式运算来算
#include "crc_8.h"
#include "stdio.h"
/*** 获得data 数据为1的最高位的位置* @param data* @return*/
uint8_t getMbsBitIndex(uint8_t data){uint8_t index;for (index=7; index>0 ; index--) {if((0x01<<index)&data){return index;}}}/*** 通过生成式* G的16进制表示法 0x07* 对应的多项式为 x^8+x^2+x+1===>0x107==>对应的二进制是==>100000111* G的真实值=0x107* r=8* m=data* NM:二进制的data在后面+r个0** 原理：将data<<8 获得NM* NM/G 的余数即data的校验码，这里的除法为多项式除法，且取余的减法是模2运算，即二进制的异或* 通过G多项式对应的二进制为1的最高位与NM对应的二进制为1的最高位对齐进行异或运算获得的结果temp_value* 如果temp_value的二进制值为1的最高位>=r,也就是8，则将temp_value看作NM,继续与G进行对齐模2运算* 直到temp_value的二进制值为1的最高位<r ,此时temp_value就是最终的校验值了** @param data 单个字符校验* @return*/
uint8_t getCRC_8(uint8_t data) {uint16_t G=0x107;//1。先计算NM的值uint32_t NM=data<<8;
// printf("NM=%X\n",NM);//2.计算出data为1的最高位uint8_t index=getMbsBitIndex(data);
// printf("index=%d\n",index);//3.G为1的最高位与NM为1的最高位对齐uint32_t tG=(G<<(index));
// printf("tG=%X\n",tG);//4.对NM与tG进行异或运算uint32_t temp_value=NM^tG;
// printf("temp_value=%X\n",temp_value);//取temp_value的[15:8]uint8_t tm=((temp_value&0xFF00)>>8);//5.获取temp_value的为1的最高位index=getMbsBitIndex(tm);
// printf("index=%d\n",index);//一直循环到 index==0,并且temp_value的[15:8]==0while (index!=0||tm){//G为1的最高位与NM为1的最高位对齐tG=(G<<(index));//对temp_value与tG进行异或运算temp_value=temp_value^tG;tm=((temp_value&0xFF00)>>8);//获取temp_value的为1的最高位index=getMbsBitIndex(tm);
// printf("while_index=%d\n",index);}
// printf("temp_value=%X\n",temp_value);return temp_value;
}实现方式二，寄存器（内存模仿寄存器）移位方式
/*** 原理* G=0x07; 用CRC-8的16进制表示法 而不是用生成表达式的值0x107* NM=data<<8;* 先将NM的高8位加载到8位长度的内存temp_value中r** 如果内存中的最高位为1,将内存中的值左移一位，* 并将NM后面的位依次移入内存* 因为单个字节，后面全是8个0，左移自动补零相当于帮将NM后面的位自动移入该内存中了* 然后再与G进行异或并将结果保存在该内存中，这里的G=0x07,是因为这里将最高的1位移出，相当于除去了0x107的最高位** 如果内存中的最高位为0,将内存中的值左移一位* 并将NM后面的位依次移入内存* 因为单个字节，后面全是8个0，左移自动补零相当于帮将NM后面的位自动移入该内存中了** 直到NM的最低位也被加载到内存中,该内存中的值就是校验值** @param data* @return*/
uint8_t gencrc8_2(uint8_t data){uint8_t G=0x07;//这里可以直接用data加载到8位长度的内存中，之所以移位是对照公式的NM,便于理解uint16_t NM=data<<8;//把NM开头的8位加载到内存中uint8_t temp_value=(NM&0xFF00)>>8;//循环8次是为了将NM全部移动到8位内存中for (int i = 0; i <8; ++i) {//判断8位内存中的最高位是否是1uint8_t h=(temp_value&0x80);if(h==0x80){//如果是1，则左移1位，并与G进行异或，并保存在8位内存中temp_value=((temp_value<<1)&0xFF);temp_value=(temp_value^G);} else{//如果是0，则左移1位，不进行异或运算，并保存在8位内存中temp_value=((temp_value<<1)&0xFF);}}
// printf("%X\n",temp_value);return temp_value;
}方式三，使用查表法以空间换时间计算多个数据的校验值
//1.计算出0~0xFF的所有校验值并将其放入一个256的数组中
const uint8_t crc_table [256]={0x00,0x07,0x0E,0x09,0x1C,0x1B,0x12,0x15,0x38,0x3F,0x36,0x31,0x24,0x23,0x2A,0x2D,0x70,0x77,0x7E,0x79,0x6C,0x6B,0x62,0x65,0x48,0x4F,0x46,0x41,0x54,0x53,0x5A,0x5D,0xE0,0xE7,0xEE,0xE9,0xFC,0xFB,0xF2,0xF5,0xD8,0xDF,0xD6,0xD1,0xC4,0xC3,0xCA,0xCD,0x90,0x97,0x9E,0x99,0x8C,0x8B,0x82,0x85,0xA8,0xAF,0xA6,0xA1,0xB4,0xB3,0xBA,0xBD,0xC7,0xC0,0xC9,0xCE,0xDB,0xDC,0xD5,0xD2,0xFF,0xF8,0xF1,0xF6,0xE3,0xE4,0xED,0xEA,0xB7,0xB0,0xB9,0xBE,0xAB,0xAC,0xA5,0xA2,0x8F,0x88,0x81,0x86,0x93,0x94,0x9D,0x9A,0x27,0x20,0x29,0x2E,0x3B,0x3C,0x35,0x32,0x1F,0x18,0x11,0x16,0x03,0x04,0x0D,0x0A,0x57,0x50,0x59,0x5E,0x4B,0x4C,0x45,0x42,0x6F,0x68,0x61,0x66,0x73,0x74,0x7D,0x7A,0x89,0x8E,0x87,0x80,0x95,0x92,0x9B,0x9C,0xB1,0xB6,0xBF,0xB8,0xAD,0xAA,0xA3,0xA4,0xF9,0xFE,0xF7,0xF0,0xE5,0xE2,0xEB,0xEC,0xC1,0xC6,0xCF,0xC8,0xDD,0xDA,0xD3,0xD4,0x69,0x6E,0x67,0x60,0x75,0x72,0x7B,0x7C,0x51,0x56,0x5F,0x58,0x4D,0x4A,0x43,0x44,0x19,0x1E,0x17,0x10,0x05,0x02,0x0B,0x0C,0x21,0x26,0x2F,0x28,0x3D,0x3A,0x33,0x34,0x4E,0x49,0x40,0x47,0x52,0x55,0x5C,0x5B,0x76,0x71,0x78,0x7F,0x6A,0x6D,0x64,0x63,0x3E,0x39,0x30,0x37,0x22,0x25,0x2C,0x2B,0x06,0x01,0x08,0x0F,0x1A,0x1D,0x14,0x13,0xAE,0xA9,0xA0,0xA7,0xB2,0xB5,0xBC,0xBB,0x96,0x91,0x98,0x9F,0x8A,0x8D,0x84,0x83,0xDE,0xD9,0xD0,0xD7,0xC2,0xC5,0xCC,0xCB,0xE6,0xE1,0xE8,0xEF,0xFA,0xFD,0xF4,0xF3
};/*** /*** 查表法计算 crc* 生成多项式：x^8+x^2+x+1* 16进制表示：0x07* 初始值：0x00* 输入输出反转：False*** 该查表法原理* 以 E9AAEE为例* 先计算E9的crc值===>91* 先算E9AA =>gencrc8_temp(0xE9AA)==>3B* 恰好相当于E9的crc值异或AA:gencrc8_temp(0xE9)^AA==>3B* 接着以3B作为EE的高8位计算getcrc8_temp(3BEE)===>4F* 恰好相当于3B的crc值异或EE:gencrc8_temp(0x3B)^AA==>4F* 最后计算4F的crc gencrc8_temp(0x4F)===>EA 这个值机最终的CRC值** 数学原理* NM=M*X^r* E900=E9*X^8==>* (X^7+X6+X^5+X^3+1)*X8=X^15+X^14+x^13+X^11+^X8* 由因为求E9的校验值，其实就是求E900/G 的余数CRC1* 有因为只算高8位，所以E900/G和E9AA/G的商是相等的* 设E9为K,AA为L，K/G和AA/G的商为N* E900=K*X^8* GN+CRC1=K*X^8* E9AA=K*X^8+L* GN+CRC2=K*X^8+L* K*X^8-CRC1=K*X^8+L-CRC2* CRC2=K*X^8+L-K*X^8+CRC1* =L+CRC1* 由因为模2运算的加减法相当于异或运算* 所以CRC2=CRC1^L* E9AA的校验值CRC2相当于E900的CRC1^AA**对应的多项式为 x^8+x^2+x+1===>0x107==>对应的二进制是==>100000111* @param datas* @param len* @return*/uint8_t crc8(unsigned char * datas, uint16_t len) {uint8_t crc=0;for (int i = 0; i < len; ++i) {crc=(crc_table[crc]^datas[i]);
// printf("table[%d]=%X crc=%X\n",i,datas[i],crc);}return crc_table[crc];
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