概述

机器人学中使用姿态矩阵来描述坐标系之间的角度关系。通常坐标系固连在刚体上，因此姿态矩阵也可以用来描述刚体之间的角度关系。

绕单个坐标轴旋转某一角度的旋转矩阵

绕X轴旋转 θ \theta θ角度的旋转矩阵为： [ 1 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] (n) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right] \tag{n} ⎣⎡1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎦⎤(n)
绕Y轴旋转 θ \theta θ角度的旋转矩阵为： [ cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 1 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] (n) \left[ \begin{matrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{matrix} \right] \tag{n} ⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤(n)
需特别矩阵左下角的 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ 没有负号。
绕Z轴旋转 θ \theta θ角度的旋转矩阵为： [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] (n) \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \tag{n} ⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤(n)

用MATLAB实现上述矩阵

function rot_X_matrix = rotX(theta)
% 计算绕X轴旋转的矩阵
rot_X_matrix = [1, 0, 0;0, cos(theta), -sin(theta);0, sin(theta), cos(theta)];

function rot_Y_matrix = rotY(theta)
% 计算绕Y轴旋转的矩阵
rot_Y_matrix = [cos(theta), 0, sin(theta);0, 1, 0;-sin(theta), 0, cos(theta);];

function rot_Z_matrix = rotZ(theta)
% 计算绕Z轴旋转的矩阵
rot_Z_matrix = [cos(theta), -sin(theta), 0;sin(theta), cos(theta), 0;0, 0, 1;];

坐标系绕多个坐标轴转动的姿态矩阵

这里的多个坐标系分为两类：固定坐标系和动坐标系。
对于固定坐标系，姿态矩阵依次向左乘。
对于动坐标系，姿态矩阵依次向右乘。
对此，我的记忆方法是：固左（即利用谐音“顾左右而言他”）。

等效转轴与等效转角

之前在理论力学中学过刚体定点运动的位移定理，即达朗贝尔-欧拉定理。
该定理叙述如下：定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点O的某一轴经过一次转动来实现。
姿态矩阵是一个正交矩阵，它存在一个大小为1的特征值，对应于该特征值的特征向量的方向即为等效转轴的方向。
等效转角可用以下公式计算。 θ = a r c c o s [ 1 2 ( t r A − 1 ) ] \theta=arccos[\frac{1}{2}(trA-1)] θ=arccos[21(trA−1)]
其中，trA为矩阵A的迹。
下面举例在MATLAB中编程进行计算。

% 举例计算等效转轴和等效转角
thetaX = 30 / 180 * pi;
thetaY = 60 / 180 * pi;
thetaZ = 50 / 180 * pi;R = rotX(thetaX) * rotY(thetaY) * rotZ(thetaZ);
[V, D] = eig(R)
theta = acos(0.5 * (trace(R) - 1)) / pi * 180

特征向量矩阵V、特征值矩阵D和等效转角 θ \theta θ的输出结果如下。

V =-0.2232 + 0.5348i  -0.2232 - 0.5348i   0.5730 + 0.0000i0.6193 + 0.0000i   0.6193 + 0.0000i   0.4826 + 0.0000i-0.2581 - 0.4626i  -0.2581 + 0.4626i   0.6624 + 0.0000iD =-0.0103 + 0.9999i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i  -0.0103 - 0.9999i   0.0000 + 0.0000i0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   1.0000 + 0.0000itheta =90.5910

可见，等效转轴的方向向量为(0.573, 0.4826, 0.6624)，等效转角约为90.6度。

机器人基础之姿态矩阵相关推荐

GNSS/INS组合导航（1）-- 姿态矩阵
对于开始接触惯性导航的人来说,姿态矩阵是必经之路.我在开始学习惯导的过程中,只是用姿态矩阵,但没具体去研究其对应欧拉角旋转方式,最近把自己绕晕了,所以推导完后记录一下自己对欧拉角与旋转矩阵理解,重点针 ...
机器人基础之运动学逆解
机器人基础之运动学逆解概述求解腕点位置求解腕部方位 z-y-z欧拉角具体求解算例 MATLAB实现概述运动学逆解是指已知机器人末端位姿,求解各运动关节的位置,它是机器人运动规划和轨迹控制 ...
有限元基础： Jacobian 矩阵和高斯积分
有限元基础(一) Jacobian 矩阵和高斯积分_battlestar的博客-CSDN博客_有限元高斯积分有限元的二维热传导_fpga&matlab的博客-CSDN博客_二维热传导
matlab中服从高斯分布的矩阵_推荐基础算法之矩阵分解PMF
推荐基础算法之矩阵分解PMF 大多数存在的协同过滤算法不能处理以下两种情况: 1. 不能处理大规模数据 2.不能处理评分非常少的用户数据概率矩阵分解模型可以解决大规模.稀疏且不平衡的数据.这篇文章主 ...
推荐系统基础03：矩阵分解与FM
推荐系统基础03:矩阵分解与FM 1. 隐语义模型与矩阵分解 2. 隐语义模型(LFM) 隐语义隐特征矩阵 3.矩阵分解模型 4. 矩阵分解算法的求解 Basic SVD FunkSVD(又称RSV ...
【机器人基础】阻抗/导纳控制深度解析
之前写过一篇阻抗控制的文章,[机器人基础]机器人阻抗控制概念写的比较浅也不是很专业,最近上了桂凯博士的动力学课程之后有了更深入的认识,认真整理总结了一下,这次详细地分析一下阻抗/导纳控制. 1.柔顺控 ...
两个卡方分布之和_推荐基础算法之矩阵分解PFM
推荐基础算法之矩阵分解PFM PFM被称为概率因子模型(Probabilistic Factor Model)或泊松因子模型(Poission factor model).PFM本质上和概率矩阵分解( ...
线代基础第二讲——矩阵
基础知识结构求矩阵的逆: 1.定义 2.用伴随矩阵求逆矩阵 3.用初等变换求逆矩阵这就是读者对矩阵的初步认识--表达系统信息(systematical information) 再看一个矩阵: 重 ...
示教器重定位下机器人动作_ABB机器人基础应用练习题
ABB机器人基础应用练习题 ABB Engineering Shanghai Ltd.3BCN700000Issued by DivisionDateLanguageRevisionPageFlexi ...

机器人基础之姿态矩阵