文章目录

Non-Newtonian Fluids: An Introduction（R.P. Chhabra）
- 1 牛顿流体
- 2 非牛顿流体
- - 2.1 非牛顿流体分类
- 3 时间无关性流体行为
- - 3.1 剪切稀化
  - - 3.1.1 Ostwald de Waele公式（或幂律公式）
    - 3.1.2 Cross粘度公式
    - 3.1.3 Ellis流体模型
  - 3.2 粘塑性流体行为
  - 剪切增稠型或者胀流性流体
- 4 时间相关型行为
- - 4.1 触变性流体
  - 4.2 震凝性流体
  - 4.3 触变性和震凝性流体的研究方法
- 5 粘弹性行为
- 6 震荡剪切流动（Osillatory shear motion）
- 7 拉伸流（Elongational flow）
- - 7.1 粘弹性行为的定量描述
- 8 非牛顿行为的起源（微观机理）
- 9 非牛顿流体的工程应用
- 10 结束语

来源：https://byjusexamprep.com/non-newtonian-fluids-i

非牛顿流体分为四类：

胀流性（剪切变稠）
假塑性（剪切变稀）
触变性（随时间变稀）
震凝性（随时间变稠）

Cosmetics, toothpaste, and soap solutions
Butter, cheese, jam, mayonnaise, soup, taffy, and yogurt are some examples of foods.
Magma, lava, gums, honey, and extracts like vanilla extract are all examples of natural substances.
Blood, saliva, sperm, mucus, and synovial fluid are examples of biological fluids.
Slurries, such as cement slurry and paper pulp, emulsions, such as mayonnaise, and various dispersions are all examples of slurries.

Non-Newtonian Fluids: An Introduction（R.P. Chhabra）

1 牛顿流体

一般来说，低分子溶液，熔融金属和气体等表现出牛顿流体的特性。

我猜测：这是因为他们的内部分子之间空隙很大或者分子流动性很好，因此阻碍作用和外界应力是成正比的。

所谓牛顿流体，即恒定温度恒定压力下，剪切应力和剪切速率成正比。（这个比值就是粘度，因此粘度为恒定的）

对于气体，粘度与温度和压力成正相关。对于液体，粘度也与压力成正相关，但与温度成负相关。

室温下常见物质的粘度如下表所示

固体实际上可以认为是粘度趋于无穷大的流体。

2 非牛顿流体

许多多相的混合物都是非牛顿流体。例如泡沫、乳浊液、悬浊液（泥浆等）、聚合物熔体等。

非牛顿流体实际上是非常普遍的。因此，实际上牛顿流体才是例外，而非牛顿流体才是普遍的。

下面的表格展示了各类流体的非牛顿行为。

翻译

粘附性：壁纸膏，地毯粘合剂
麦芽酒：啤酒、甜酒
动物粪便：牛粪
生物流体：血液、滑液、唾液
沥青
水泥、泥浆
粉笔浆
巧克力
煤浆
化妆品（指甲油、护肤液、护手霜、口红、洗发水、剃须膏、牙膏）
乳制品（奶酪、黄油、酸奶、鲜奶油、乳清）
钻探泥浆
泡沫灭火剂
食物（蔬菜/水果泥和浓缩液、酱油、沙拉酱、果酱和橘子酱、冰淇淋、汤、蛋糕和蛋糕配料、蛋清、面包混合物、小零食）
润滑油
尾矿、矿物悬浮液
熔岩、岩浆
涂漆、抛光剂和清漆
纸浆悬浮液
泥煤和褐煤浆液
聚合物熔体和溶液、增强塑料、橡胶
打印墨水
药品（霜、泡沫、悬浮液）
下水道污泥
潮湿的沙滩沙
含蜡原油

2.1 非牛顿流体分类

一种并非严谨的分类为：

时间无关型：当前某一点的剪切率γ˙\dot\gammaγ˙仅由当前这一点的应力σ\sigmaσ决定。这又被称为纯粘性、非弹性、时间无关型、或者叫广义牛顿流体（Generalized Newtonian Fluid)
时间相关型：γ˙\dot\gammaγ˙与σ\sigmaσ依赖于剪切时间和运动历史，被称为时间相关型流体
粘弹性体：表现出粘性流体和弹性固体的混合行为，如部分的弹性恢复、缩回、蠕变等。因此被称为粘弹性体。

上述分类并非严谨，因为大多数材料可以同时表现以上两种或者三种行为的组合。例如聚合物熔体同时表现时间无关性（剪切变稀）和粘弹性，陶土悬浮液表现出时间无关性（剪切变稀或者剪切变稠）和时间相关性（触变性）。但是我们在计算中可以确定起主导作用的方面，从而提供简化。

3 时间无关性流体行为

剪切率仅仅由当前的剪切应力所决定，而与历史无关。
即

它又可以分为三类：

剪切稀化或者假塑性行为
带或不带剪切稀化行为的粘塑性行为（或称宾汉流体）
剪切增稠或者胀流性行为

下图被称为flow curve（流动图）或者rheograms(流变图)。这表明了上述三类时间无关性流体的典型行为。

下面我们分别讨论这三种行为

3.1 剪切稀化

这是最常见的一种非牛顿流体行为。其典型特征为：表观粘度随剪切率增大而减小。

对于聚合物熔体或溶液，当剪切速率趋于0的时候，它近似于牛顿流体。

当剪切率很高（趋于无穷大）的时候，也可以表现出类似的平缓段

如图所示

一般来说，η∞\eta_\inftyη∞仅仅略高于溶剂粘度。同时，通常很难看到无限剪切率的情况。因此假塑性流体表观粘度随着剪切率增大而降低。

对于不同的物质，不仅η0\eta_0η0是不同的，表观粘度变化的快慢也是不同的。它们受几个因素影响：聚合物的浓度、溶剂、颗粒尺寸和形状、悬浮液中的固体浓度等。如图所示

但是一般来说，当γ˙<10−2\dot\gamma<10^{-2}γ˙<10−2的时候聚合物体系表现出零剪切粘度段的特性。且聚合物分子量越小，分子量分布越小或聚合物溶度越小，零剪切粘度区越大。

3.1.1 Ostwald de Waele公式（或幂律公式）

在对数-对数坐标上画出σ−γ˙\sigma-\dot\gammaσ−γ˙曲线可以得到一个直线：
因此两者关系符合

或者写成表观粘度

当0<n<1时，(dη/dγ˙)<0(d\eta/d\dot\gamma)<0(dη/dγ˙)<0，即剪切稀化对应着n小于1的情况。

大部分聚合物熔体和溶液的n处于0.3-0.7之间。细颗粒（如高岭土与水混合）中n处于0.1-0.5之间。

n越小，剪切稀化特性越明显。

另一个常数m被称为一致性指数，用于度量物质的一致性。

该公式只是预测了中间段的行为，而没有预测上平台段和下平台段（即γ˙→0\dot\gamma\rightarrow0γ˙→0或γ˙→∞\dot\gamma\rightarrow\inftyγ˙→∞的区域。

且n和m的取值范围应该在较小的范围内。

3.1.2 Cross粘度公式

Cross提出：

显然，n<1时表现出剪切稀化行为。

且m趋于0时可以表现出牛顿极限。

Cross最早提出n=2/3，对大多数物质是符合的。目前n则作为一个参数。

该公式可以预测出γ˙→0\dot\gamma\rightarrow0γ˙→0或γ˙→∞\dot\gamma\rightarrow\inftyγ˙→∞区域的粘度。

3.1.3 Ellis流体模型

除了零剪切粘度，该公式还有两个可调节的参数：σ1/2\sigma_{1/2}σ1/2和α\alphaα。显然α>1\alpha>1α>1对应剪切稀化的行为。当σ1/2→∞\sigma_{1/2}\rightarrow\inftyσ1/2→∞时，可以看到牛顿流体极限。当σ/σ1/2>>1\sigma/\sigma_{1/2}>>1σ/σ1/2>>1时，可以简化为幂律公式。

3.2 粘塑性流体行为

粘塑性体存在一个阈值应力，只有超过该阈值，才可以使流体变形或者流动。当小于阈值时，该类流体表现出弹性固体或者刚体的性质。当超过阈值的时候，则表现出牛顿流体（粘度恒定）或者剪切变稀型流体的行为。从微观机理上来说，我们可以做出如下解释：静止时该物质由足够刚性的三维结构组成，可以抵抗任何小于阈值的外部应力，虽然仍然可以表现出弹性变形。然而对于高于阈值的应力，结构会分解，物质表现出粘性流体的行为。

我们这里把该阈值记为σ0\sigma_0σ0。

对于超出应力阈值后粘度恒定的流体，被称为宾汉塑性体。对于一维剪切，宾汉塑性体的应力应变关系可由如下公式描述（宾汉塑性体模型）

对于超出应力阈值后剪切变稀的流体，被称为屈服假塑性体（yield-peudoplastic)。对于一维剪切，其应力应变关系可由下面的公式（Herschel-Bulkley流体模型）描述：

对于屈服假塑性流体，还可以由Casson模型来描述。Casson模型最早是用于描述血液的，但后来被证明对其他许多物质也有效。

下图展示了两种粘塑性流体。一种是肉汁，一种是聚羧乙烯溶液。前者表现宾汉流体行为，后者表现屈服假塑性体行为。其屈服应力分别为17Pa和68Pa。

粘塑性体的典型例子还包括：血液、酸奶、番茄泥、熔融巧克力、番茄酱、化妆品、指甲油、泡沫、悬浮液等。下面的文献对粘塑性体进行了总结：

Barnes HA (1999) The yield stress- a review or παντα ρει everything flows? J Non-Newt
Fluid Mech 81: 133-178.
Bird RB, Dai GC, Yarusso BJ (1983) The rheology and flow of viscoplastic materials. Rev
Chem Eng 1: 1-83.

实际上，对于是否真正存在屈服应力，学术界存在争论。如Barnes等人认为不存在屈服应力。屈服应力只是从类固体到类流体的行为的转变过程。其表现为在极狭窄的剪切速率范围内粘度突然下降几个数量级。实际上是否存在屈服应力与观察的时间尺度有关。（我的观点：对于突然变化的过程，假如采用极小的时间尺度观察，会发现粘度是连续变化的，只是这种变化非常迅速，以至于外在表现为屈服应力）

剪切增稠型或者胀流性流体

这类流体表现为粘度随剪切速率增大而增大。最初这种行为是从浓缩悬浮液中观察到的。我们可作出如下微观解释：静止时，悬浮液的空隙最小，液体足以填满空隙。在低剪切率情况下，液体对粒子间起润滑作用，固体粒子间摩擦很小。因此产生的应力很小。然而，在高剪切率情况下，混合物轻微膨胀，液体不足以充满空隙，从而直接产生了接触和摩擦。因此产生的剪切应力很大。从而表现出表观粘度（η=σ/γ˙\eta=\sigma/\dot\gammaη=σ/γ˙)随着剪切速率的增大而增大。

下图展示的不同浓度的二氧化钛溶液。可见它同时在不同区域展示了剪切变稀和剪切变稠的特性。

剪切变稠类流体时关注较少的一类流体。直到80年代它仍然被认为是罕见的类型。典型的例子包括：高岭土悬浮液、二氧化钛、玉米糊（玉米淀粉与水的混合物）

在简单剪切情况下，这类流体仍然可以用幂律公式来描述（其n大于1）。但是对于γ˙→0\dot\gamma\rightarrow0γ˙→0和γ˙→∞\dot\gamma\rightarrow\inftyγ˙→∞的情况仍然缺乏数据，不能证明其拥有有限粘度。

4 时间相关型行为

这类流体不能用σ=f(γ˙)\sigma=f(\dot\gamma)σ=f(γ˙)这样的公式来描述。即剪切应力与剪切速率不是单值函数的关系。其表观粘度还受剪切时间和运动历史的影响。例如将样本装入粘度计的方式（直接倾倒或者注射）都会影响应力和应变测量的结果。典型例子包括：膨润土悬浮液、煤粉悬浮液、红泥悬浮液、水泥膏、蜡质原油、手乳液和手霜等。

将它们长时间静置后，以恒定剪切率剪切，其粘度逐渐降低。微观机理解释为：其内部连接结构逐渐分解。当内部连接结构全部分解完，其粘度变化率趋于0。反之，当连接结构分解的时候，其连接结构重建的速率增大。最终累积和分解的速率达到动态平衡。

根据其行为随时间的变化，又可以将其分为两类：

触变性（thixotropic）（粘度随着剪切时间增大而减小）
震凝性（rheopexy）（粘度随着剪切时间增大而增大）

4.1 触变性流体

如果一种材料以恒定速率剪切时，其表观粘度随着剪切实践的延长而减小，则该材料被归类为触变性流体。

下图为59%质量分数的红泥悬浮液的流变图，它是典型的触变性流体。图中不同曲线为不同的恒定剪切速率。对比不同曲线，发现随着剪切速率γ˙\dot\gammaγ˙的增加，达到平衡所需的时间减少。如剪切率为3.5−1^{-1}−1的时候，大约需要1500s达到平衡。而当剪切率为56−156^{-1}56−1的时候，达到平衡所需时间为500s左右。

如果将剪切速率以恒定速率从0增加到一个定值，然后再以相同速率下降到0，则可以得到一个滞回曲线，如下图所示。封闭的区域越大，我们认为材料的时间依赖性越强。对于时间无关性流体，则封闭面积为0，即不会出现滞后效应。

下图展示了水泥的触变性行为。此外，当静置足够长时间后，某种情况下内部结构可能会恢复，流体可能会回到原来的初始粘度。

下图展示了身体霜的粘度随剪切时间的变化。当以100−1^{-1}−1的剪切速率施加5-10s之后，粘度从80Pa⋅sPa\cdot sPa⋅s降低到了10Pa⋅sPa\cdot sPa⋅s左右。当去除剪切以后，经过50-60s之后，粘度则回归到了初始粘度。

4.2 震凝性流体

相对较少的流体表现出震凝性（也被称为负触变性或者流动固定性）。震凝性即其表观粘度随着剪切时间的增加而增加。再这种情况下，滞回曲线明显倒置。如图所示

与触变性流体相反，外部剪切力促进了结构的建立。再适当的浓度和剪切速率的组合下，同一流体同时表现触变性和震凝性的组合并不少见。图13显示了60摄氏度下饱和聚酯逐步表现震凝性的行为。直到γ˙≈1337s−1\dot\gamma\approx1337 s^{-1}γ˙≈1337s−1为止，流体仍然表现出时间无关性。到了γ˙≈2775s−1\dot\gamma\approx2775 s^{-1}γ˙≈2775s−1的时候，随着外部剪切的进一步加强，表现出了震凝性。其他表现震凝性的例子包括油酸铵悬浮液、五氧化二钒悬浮液，泥浆和蛋白质溶液。

4.3 触变性和震凝性流体的研究方法

目前针对触变性和震凝性流体的研究方法分为三类：

连续介质
微观结构
结构动力学

在连续介质框架内，对现有的粘度模型（如前文提到过的宾汉塑性体模型，Herschel-Bulkley模型或Reiner-Rivlin模型）进行修正，使其成为时间的函数。

宾汉塑性体模型：

Herschel-Bulkley流体模型：

连续介质框架必然导致幂律（如下）的参数（一致性指数m和流动指数n）成为时间的函数。

幂律公式：

或者写成

但连续介质框架的其缺陷在于：它完全忽略了微观结构，因此无法对微观机理进行解释（即将微观结构的破坏与恢复过程与模型相联系）。

基于微观结构的方法需要对粒子间作用力有详细的了解，这通常是很难做到的。因此这一方法的进展较为困难。

基于结构动力学的方法基于单个标量参数（结构参数ξ\xiξ）的有效性。该参数衡量了系统结构的状态。它的取值范围为从0到1。0表示结构完全分解，1则表示结构完全形成。因此，该方法包含两个方程：

给定ξ下的σ−γ˙\xi下的\sigma-\dot\gammaξ下的σ−γ˙方程
ξ−t\xi-tξ−t方程（类似于可逆化学反应的速率方程）

方程如下所示：

其中σ0和m0\sigma_0和m_0σ0和m0分别被称为永久屈服应力和永久一致性系数。σ01和m1\sigma_{01}和m_1σ01和m1是相应的时间依赖性贡献项，他们被假设为与当前的ξ\xiξ值成线性关系。因此第一个方程对ξ\xiξ为定值时有效。

第二个方程描述了ξ\xiξ与时间的关系。它是一个速率方程。其中第一项为结构形成的速率（假设静止状态，即γ˙=0\dot\gamma=0γ˙=0）。第二项为结构分解的速率。

该模型共8个参数。其中a、b、ξ\xiξ为动力学参数，其余5个为材料参数。显然该模型比修正时间无关性模型的方法更加复杂，但也能够更加充分地解释实验数据。

5 粘弹性行为

对于理想弹性体来说，在剪切状态下应力与应变成正比。其比例系数即杨氏模量G。此规律即胡克定律，如下所示：

当理想弹性体所受应力不超过屈服应力的时候，去除应力则它会恢复到原状。但是假如施加的应力超过的屈服应力，则会发生不可逆的塑性形变。这种变形又被称为蠕变。即此时固体发生了流动。

下表展示了各种物质的杨氏模量。

根据杨氏模量，我们可将一些物质划分为“软体”。

牛顿流体则是另外一个极端。其剪切应力与剪切速率成正比。许多材料同时表现出弹性和粘性。在不存在触变性和震凝性效应的情况下，这类材料被称为粘弹性体。显然，粘弹性的两种极限情况即完全的粘性流动和完全的弹性流动。还应当注意：材料的行为不仅取决于其自身结构，还受到它所经历的运动学条件的影响。因此，粘性和弹性之间的区别，以及固体和流体之间的区别，实际上并无十分明确的划分。并且，有不少物质在某种情况下表现出弹性固体的性质，在另外一种情况下则表现出粘性。

粘弹性的例子包括：许多聚合物熔体和溶液，肥皂液、凝胶、滑膜液、乳剂、泡沫等。

这类材料具有一定的存储和恢复剪切能量的能力。导致的一个结果是：剪切运动在垂直与剪切运动的方向上产生法向应力。三维情况下就有三个主应力，由此我们可以得到两个主应力差：第一法向应力差N1和第二法向应力差N2。如下为平板粘性实验，流体做简单剪切运动。

下面两张图分别展示了聚苯乙烯溶于甲苯溶液的第一和第二法向应力差随剪切率的变化（温度恒定298K）。

我们还可以分别定义关于第一和第二法向应力差的两个系数来衡量其变化的快慢：

对于粘弹性体，有如下的几个经验总结：

尽管不同的物质种类会有不同的变化速率，但总地来说Ψ1\Psi_1Ψ1随γ˙\dot\gammaγ˙变化的速率比表观粘度随γ˙\dot\gammaγ˙变化的速率快。
在极低剪切率下，Ψ1\Psi_1Ψ1会逐渐接近于一个定值（如上图所示）。
比值N1/σN_1/\sigmaN1/σ可以衡量粘弹性行为的程度。具体来讲，N1/(2σ)N_1/(2\sigma)N1/(2σ)被称为可恢复剪切。（当其>0.5的时候，聚合物系统呈现高度粘弹性特征）。
N1N_1N1的测量难度比σ\sigmaσ要难，而N2N_2N2的测量则更加困难。N2N_2N2通常是N1N_1N1的10%左右。直到70年代，N2N_2N2还被认为是0。

因此，在简单剪切流动中，粘弹性体材料可以被以下几个变量所刻画：

N1(γ˙)N_1(\dot\gamma)N1(γ˙)
N2(γ˙)N_2(\dot\gamma)N2(γ˙)
σ(γ˙)\sigma(\dot\gamma)σ(γ˙)

此外，
当N1≪σN_1\ll\sigmaN1≪σ的时候，可以将材料划分为非弹性的
当N1≫σN_1\gg\sigmaN1≫σ的时候，可以将材料划分为粘弹性的

值得注意的是：以上的所有讨论均只针对简单剪切流。下面我们将讨论另外两种流动构型：震荡剪切流和拉伸流。前者提供了简单的表征线性粘弹性行为的方法，后者则是几种重要的工业流体的理想化模型。

6 震荡剪切流动（Osillatory shear motion）

震荡剪切流是描述粘弹性体的一种模型。剪切应变依照正弦函数的形式来施加：

γ=γmsin(ωt)\gamma = \gamma_m sin(\omega t)γ=γmsin(ωt)

γm\gamma_mγm 是振幅，而ω\omegaω是角频率

对于满足胡克定律的弹性固体来说，应力为：
σ=Gγ=Gγmsin(ωt)\sigma = G\gamma = G \gamma_m sin(\omega t)σ=Gγ=Gγmsin(ωt)

此种情况下，应力与应变之间无相移。

对于牛顿流体来说，剪切应力与剪切率成正比。剪切率为剪切应变对时间的导数：

因此剪切应力为：

显然，在这种情况下，剪切应力与应变之间存在相位差（π/2\pi /2π/2）。

因此对于粘弹性体，实际测量得到的相位角(phase angle)δ\deltaδ介于0到π/2\pi/2π/2之间。因此相位角可以用来衡量粘弹性的程度。纯弹性响应对应相位角为0，纯粘性响应对应相位角为π/2\pi /2π/2。

对于线粘弹性体，我们可以定义复粘度(complex viscosity)η∗\eta^*η∗

其中η′\eta'η′为实部，η′′\eta''η′′为虚部。它们分别与存储剪切模量（storage modulus）G′G'G′和损失剪切模量（loss modulus）G′′G''G′′相关。即：

存储剪切模量（storage modulus）G′G'G′和损失剪切模量（loss modulus）G′′G''G′′分别可以定义为

7 拉伸流（Elongational flow）

在这种流动模型中，流体在某一个或多个方向上被拉伸。这在纤维纺丝和薄膜吹制中经常会遇到。其他的例子还包括泡泡的合并等。

我们可以将拉伸流分为三类：

a是单轴拉伸流
b是双轴拉伸流
c是平板拉伸流

纤维纺丝即单轴拉伸流。管状薄膜吹制即双轴拉伸流。塑料瓶的吹制也是双轴拉伸流的例子。

拉伸模式会影响流体抵抗变形的方式。这种抵抗（或者说阻力）可以用拉伸粘度来量化。拉伸黏度不仅取决于拉伸速率，还取决于拉伸的种类。

如图为一个在恒定应变率ε˙\dot\varepsilonε˙下沿着x轴单轴拉伸的例子。由于体积守恒，在x方向上拉伸必定会导致沿y和z方向的收缩。假设y和z方向的变形是对称的，则y和z都以ε˙/2\dot\varepsilon/2ε˙/2的速率收缩。

根据以上情况，我们定义速度矢量为

沿x方向拉伸的速率与x方向速度有关：

拉伸粘度ηE\eta_EηE可以定义为

Trouton等人对纤维的单轴拉伸进行了实验。实验证实：拉伸黏度ηE\eta_EηE是相应的剪切粘度的三倍。因此，我们可以定义一个参数TrT_rTr。该参数被称为Trouton比率。其公式如下：

后来证明：不可压缩牛顿流体的Trouton比率是3（如Trouton实验所揭示的）。

但是将Trouton比率拓展到非牛顿流体的时候，会遇到一些概念上的差异。这是因为对于非牛顿流体，剪切粘度是剪切速率的函数（η(γ˙)\eta(\dot\gamma)η(γ˙)）。而拉伸粘度是拉伸速率的函数（ηE(ε˙)\eta_E (\dot\varepsilon)ηE(ε˙)）。因此，我们需要采用一种约定来建立ε˙\dot\varepsilonε˙和γ˙\dot\gammaγ˙之间的关系。Jones等人提出了一种等价关系：
γ˙=3ε˙\dot\gamma = \sqrt3 \dot\varepsilonγ˙=3ε˙

因此对比不可压缩非牛顿流体的Trouton比率可以定义为：

Jones等人还指出：对于牛顿流体，Tr=3。任何偏离3的值都可以归结为粘弹性性质。有文献指出，对于粘弹性剪切变稀流体，Tr可以高达1000。因此，这种流体在剪切中变稀，而在拉伸中变稠（或称为应变硬化）。

下图展示了不同ε˙\dot\varepsilonε˙下的聚合物溶液的拉伸粘度实验结果。

7.1 粘弹性行为的定量描述

下面，我们将尝试定量地描述粘弹性体。早期的尝试通常采用弹簧和阻尼的组合来表现粘弹性体的数学模型。如下图所示。a)代表的是Maxwell模型（串联） b)代表Kelvin-Voigt模型（并联） c)代表Burgers模型（串联+并联）

粘弹性体的一个特征是具有所谓的记忆效应。粘性流体是无记忆的，而弹性固体具有完美记忆。我们可以用松弛时间作为参数来衡量其记忆性的程度。关于松弛时间的一个无量纲数被称为黛博拉数：

黛博拉数即松弛时间除以过程的时间尺度。

我们考虑一个聚合物溶液的例子来说明黛博拉数。其松弛时间为10ms。流体被放入填充床内。流体流过填充床内的球形颗粒时经历加速和减速运动。对于中等颗粒粒径（25mm）的工业规模的柱状填充床，假设其流体速度为250mm/s，过程的时间尺度为25/250=0.1s左右。这远远大于松弛时间。因此，在该反应器内不会看到粘弹性现象。这就对应着黛博拉数De=0.1

假如对于实验室规模小型反应器来说，反应器中颗粒尺寸为250微米，流速不变。则过程的时间尺度为250×10−6/(250×10−3)=10−3s250\times10^{-6}/(250\times 10^{-3}) = 10^{-3}s250×10−6/(250×10−3)=10−3s，这比松弛时间10ms要小。就可以明显看到粘弹性效应。其黛博拉数为De=10

因此，物质的响应不仅受到物质本身结构的影响，还与流动类型有关。

此外，
De→0De\to0De→0意味着纯粘性，
De→∞De\to \inftyDe→∞意味着纯弹性。

8 非牛顿行为的起源（微观机理）

以上讨论的非牛顿流体行为都暗含了两个假设：连续介质假设和空间同质性假设。连续性假设保证了“粘度”这个宏观概念的成立。分子尺寸在1-10nm的聚合物溶液、熔体、胶体、泡沫和蠕虫状胶束体系等均在此范围内。所有上述的微观结构尺寸都在1-2微米左右。

从微观机理上讲，非牛顿流体和牛顿流体的本质区别在哪里呢？其本质区别在于非牛顿流体的结构不仅在性质上是瞬态的，而且极易受相对较低的应力的扰动。例如，环乙烷最多承受1MPa的应力扰动。而对于中等分子量的聚合物，响应的值约为100Pa。对于100nm尺寸结构的胶体，该值则为200mPa左右。正是这种结构极易受到应力扰动的特性造就了非牛顿行为。

下图展示了几种微观结构在静息状态和流动状态的不同行为。

图中的微观结构变化（从上到下）：重定向、拉伸、变形和（团簇）解体

值得一提的是：大部分上述分散体系统都具有不规则的颗粒形状和粒径分布，尤其对于含有大量液滴或气泡的乳浊液或泡沫。

此外，在聚合物系统中，还存在纠缠的大分子。而在悬浮液系统中则存在松散的团簇结构。

在静息状态下，微观结构随机排列，处于最小能量状态。在低剪切条件下，它们展示出屈服应力或极高粘度来抵抗变形。随着外部剪切应力的逐渐提升，结构单元structural units（或流动单元flow units）逐渐与流动方向对其，或者在流线方向上变形，或者解体为更小的颗粒。还有一些体系将静息状态下处于缠绕中的分子逐渐解除缠绕并最终伸直（如下图所示）。上述所有的微观结构变化都导致了剪切粘度的降低，从而展现出剪切变稀特性。

微观结构之间的力的变化也会导致非牛顿行为。例如在亚微米尺度的粒子悬浮液中，粒子间的范德华力导致了粒子的相互粘附。这可以解释胶体系统中的凝固行为。

同样的，粒子之间的电荷力可能导致阻止凝固的排斥力。我们可以通过改变高岭土悬浮液的pH值或者增加表面活性剂来实现不同的非牛顿行为。高岭土由板状的颗粒组成。根据表面电荷的类型，在静息状态下可以形成不同类型的聚集体（如下图所示）。

显然，不同类型的聚集体将展现完全不同的流变特性，如边-面型（edge-face）或面-面型（face-face），它们的流变行为完全不同。（下图为两种类型聚集体的高岭土悬浮液的流变曲线）

总地来说，我们可以通过调整物理化学条件，从而实现不同的非牛顿特性，以满足我们的需要。最理想的目标是我们首先预测所需产品的微观结构，然后令其展现预期的流变特性以满足使用需求。

9 非牛顿流体的工程应用

我们首先展示一下NS方程。第一行是连续性方程，第二行是柯西动量方程（不可压流体的紧凑形式）。

对于牛顿流体，应力偏量σ\sigmaσ与应变率偏量ε˙\dot\varepsilonε˙有关。这一公式如下：

σ=−pI+2με˙\sigma = -p \mathbf{I}+2\mu \dot\varepsilonσ=−pI+2με˙

其中σ\sigmaσ和ε˙\dot\varepsilonε˙都是3x3的二阶张量
写成矩阵形式为

(2μ∂u∂x−pμ(∂v∂x+∂u∂y)μ(∂w∂x+∂u∂z)μ(∂u∂y+∂v∂x)2μ∂v∂y−pμ(∂w∂y+∂v∂z)μ(∂u∂z+∂w∂x)μ(∂v∂z+∂w∂y)2μ∂w∂z−p)\begin{pmatrix} 2\mu \frac{\partial u}{\partial x} -p & \mu ( \frac{\partial v}{\partial x }+\frac{\partial u}{\partial y }) & \mu ( \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}) \\ \mu ( \frac{\partial u}{\partial y}+ \frac{\partial v}{\partial x}) & 2\mu \frac{\partial v}{\partial y}-p & \mu ( \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})\\ \mu ( \frac{\partial u}{\partial z}+ \frac{\partial w}{\partial x}) & \mu ( \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}) & 2\mu \frac{\partial w}{\partial z}-p\\ \end{pmatrix} ⎝⎛2μ∂x∂u−pμ(∂y∂u+∂x∂v)μ(∂z∂u+∂x∂w)μ(∂x∂v+∂y∂u)2μ∂y∂v−pμ(∂z∂v+∂y∂w)μ(∂x∂w+∂z∂u)μ(∂y∂w+∂z∂v)2μ∂z∂w−p⎠⎞

很多研究者都致力于让非牛顿流体也有类似的数学模型。并且希望能够用该数学模型预测流体的粘度、屈服应力、剪切流和拉伸流中的粘弹性行为、流动固定性（震凝性）或者触变性。他们还希望该模型与材料和框架无关。考虑到材料的多样性，期待单一的本构方程来描述所有现象确实是个艰巨的任务。但是对于不同的材料我们可以使用不同的本构方程。

对于本构方程的选择，请参考如下文献：

Graessley WW (2004) Polymer liquids and networks: structure and properties. Garland science, New York.
Kroger M (2004) Simple models for complex non-equilibrium fluids. Phy. Rep. 390: 453-551.
Morrison FA (2001) Understanding rheology. Oxford university press, New York.
Tanner RI (2000) Engineering rheology. 2nd edn. Oxford university press, London.

此外，即使忽略非线性惯性项（对应于Re=0），由于本构方程的非线性（剪切相关粘性效应，粘弹性效应），也会导致高度非线性的方程。

因此除了少数几个简单流动，如一维圆管流或一维方管流，大部分数值模拟都无法保证精度或需要大量计算资源，尤其对于高黛博拉数和高魏森贝格数的情况。

最后，对于流变实验测量学（rehometry）来说，对实验材料的特征化和无量纲数的解释也面临困难。

总之，对于非牛顿流体的输运现象的分析，远比牛顿流体困难得多。在实验室中展现非牛顿流体的效果是容易的。但解释其结果是困难的。

10 结束语

我们考虑了不同的非牛顿流体特性，包括拟同质混合物如：泡沫、乳浊液、悬浮液，膏体、大分子系统（聚合物熔体、溶液、蛋白质溶液）、表面活性剂、增强塑料。

我们考虑了单向剪切流（简单剪切、震荡剪切和拉伸剪切）中的响应。这导致了如下行为：剪切变稀、剪切变稠、粘塑性、触变性、震凝性、粘弹性。

每个非牛顿行为都进行了实验数据的描述，并提出了定性解释。这为我们操控微观结构以实现理想的非牛顿特性提供了思路。或者告诉我们如何去测量粘度和屈服应力等。

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