马尔萨斯模型的分析和应用

1. 马尔萨斯模型

模型假设: 在独立存在的生物群体中，生物种群数量的变化率是一个保持不变的常数λ\lambdaλ [1]。

问题描述: 不妨令xxx表示时间，y表示生物种群的数量，生物种群的变化率为λ\lambdaλ。根据马尔萨斯模型中变化率λ\lambdaλ值不变的假设，有，任意给定时间段Δx\Delta xΔx，生物种群数量的变化量为，y(x+Δx)−y(x)=λy(x)Δxy(x+\Delta x)-y(x)=\lambda y(x)\Delta xy(x+Δx)−y(x)=λy(x)Δx。且当x=0x=0x=0时刻，y=y0y=y_0y=y0。试求生物种群的数量yyy和时间xxx的函数。

模型求解: 根据假设y(x+Δx)−y(x)=λy(x)Δxy(x+\Delta x)-y(x)=\lambda y(x)\Delta xy(x+Δx)−y(x)=λy(x)Δx，取lim⁡Δx→0Δx\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \Delta xlimΔx→0Δx，根据牛顿差商法 [4] 得到微分方程，如下，

dy=λydxdy=\lambda ydxdy=λydx

根据生物种群的存在性的假设，即y≠0y\neq 0y̸=0，通过分离变量法 [5]，如下，

1ydy=λdx\frac{1}{y}dy=\lambda dxy1dy=λdx

对微分方程两边进行积分运算 [2]，如下，

∫1ydy=∫λdx\int \frac{1}{y}dy = \int \lambda dx∫y1dy=∫λdx

得到原函数 ∫1ydy=lny+c1\int \frac{1}{y}dy = lny + c_1∫y1dy=lny+c1，∫λdx=λx+c2\int \lambda dx = \lambda x + c_2∫λdx=λx+c2，其中c1c_1c1，c2c_2c2为常数 [3]，如下，

lny+c1=λx+c2lny + c_1 = \lambda x + c_2lny+c1=λx+c2

lny=λx+c3lny = \lambda x+c_3lny=λx+c3

其中c3=c2−c1c_3=c_2-c_1c3=c2−c1为常数。对方程两边取指数运算，如下，

elny=eλx+c3e^{lny} = e^{\lambda x+c_3}elny=eλx+c3

y=eλx⋅ec3y=e^{\lambda x} \cdot e^{c_3}y=eλx⋅ec3

根据x=0x=0x=0时刻，y=y0y=y_0y=y0的假设，代入上述方程，如下，

y0=e0⋅ec3y_0 = e^0 \cdot e^{c_3}y0=e0⋅ec3

c3=lny0c_3 = ln{y_0}c3=lny0

求得微分方程的解，如下，

y=eλxelny0y=e^{\lambda x}e^{ln{y_0}}y=eλxelny0

y=y0eλxy={y_0}e^{\lambda x}y=y0eλx

2. 小结和展望

马尔萨斯模型适合短期的种群数量的预测。但是把该模型应用到长期的种群数量预测中，预测结果可能存在较大误差/错误。为了解决模型本身局限性问题，进一步的工作主要是Logistic模型的学习和分析 [6]。计算方法上也可以采用Matlab在微分方程求解方法 [7]。

参考资料

[1] 常数λ\lambdaλ http://episte.math.ntu.edu.tw/applications/ap_population/index.html

[2] 微分方程求解 https://zhuanlan.zhihu.com/p/25514827

[3] 原函数 https://baike.baidu.com/item/原函数/2749968?fr=aladdin

[4] 牛顿差商法 https://zh.wikipedia.org/zh-hk/除法定则

[5] 微分方程之分离变量法 https://zhuanlan.zhihu.com/p/25514827

[6] Logistic模型的学习和分析 https://wenku.baidu.com/view/701fb024aaea998fcc220ecc.html

[7] Matlab在微分方程中的应用 https://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-a-single-differential-equation.html