（三十九）期权定价的二叉树法

二叉树法的基本思路

二叉树法为欧式期权定价

n步二叉树每一列有n+1个结点，假设每个结点坐标为(i,j)，比如3步二叉树中，最后一列（第4列）最上面的结点坐标为(3,3)，最下面的结点坐标为(0,3)，开始坐标为(0,0)。以欧式看涨期权为例，python代码如下：

import numpy as np
def tree_europ(S,X,r,sigma,t,steps):u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps));d=1/u#注意时间间隔为△t=t/stepsP=(np.exp(r*t/steps)-d)/(u-d)prices=np.zeros(steps+1)#生成最后一列的股票价格空数组c_values=np.zeros(steps+1)#生成最后一列的期权价值空数组prices[0]=S*d**steps#最后一行最后一列的股票价格c_values[0]=np.maximum(prices[0]-X,0)#最后一行最后一列的期权价值for i in range(1,steps+1):prices[i]=prices[i-1]*(u**2)#计算最后一列的股票价格c_values[i]=np.maximum(prices[i]-X,0)#计算最后一列的期权价值for j in range(steps,0,-1):#逐个节点往前计算for i in range(0,j):c_values[i]=(P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])/np.exp(r*t/steps)return c_values[0]

有一欧式看涨期权标的资产价格为100元，K=100，年波动率为0.25，无风险利率为2.5%，权利期间为1年，利用二叉树求此期权的价格：

tree_europ(100,100,0.025,0.25,1,100)
Out[3]: 11.083521101164578

注意有一个很难发现的点，np.max()里面必须是array才有效，否则会得出np.max(-1,0) = -1的结果（实际上这里的第二个参数0表示axis），也就是说max()函数适用范围更广。当然用np.maximum()也行。

二叉树法为美式期权定价

美式期权定价存在提前行权问题，在上述代码的基础上加入这一条件即可。因为这是比较方便且为数不多的求美式期权价格方法之一，下面给出美式看涨和看跌期权的二叉树求法：

def tree_americacall(S,X,r,sigma,t,steps):u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps));d=1/uP=(np.exp(r*t/steps)-d)/(u-d)prices=np.zeros(steps+1)c_values=np.zeros(steps+1)prices[0]=S*d**stepsc_values[0]=np.maximum(prices[0]-X,0)for i in range(1,steps+1):prices[i]=prices[i-1]*(u**2)c_values[i]=np.maximum(prices[i]-X,0)for j in range(steps,0,-1):for i in range(0,j):prices[i]=prices[i+1]*d#或者prices[i]=prices[i]*uc_values[i]=np.maximum((P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])/np.exp(r*t/steps),prices[i]-X)#检查是否提前行权return c_values[0]def tree_americaput(S,X,r,sigma,t,steps):u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps));d=1/uP=(np.exp(r*t/steps)-d)/(u-d)prices=np.zeros(steps+1)c_values=np.zeros(steps+1)prices[0]=S*d**stepsc_values[0]=np.maximum(X-prices[0],0)for i in range(1,steps+1):prices[i]=prices[i-1]*(u**2)c_values[i]=np.maximum(X-prices[i],0)for j in range(steps,0,-1):for i in range(0,j):prices[i]=prices[i+1]*dc_values[i]=np.maximum((P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])/np.exp(r*t/steps),X-prices[i])#检查是否提前行权return c_values[0]

有一美式期权标的资产价格为100元，K=100，年波动率为0.25，无风险利率为10%，权利期间为1年，利用二叉树求看涨期权和看跌期权的价格：

tree_americacall(100,100,0.1,0.25,1,100)
Out[8]: 14.950509715369122
tree_americaput(100,100,0.1,0.25,1,100)
Out[9]: 6.546911861041632

二叉树法为支付连续红利率的美式期权定价

假设红利率为q，只需将P的计算公式中的e^r△t改为e^(r-q)△t，其他代码不变。在上例的基础上，该美式期权每年支付8%的连续红利率，计算该美式看涨期权的价格：

def tree_americacall_Div(S,X,r,q,sigma,t,steps):u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps));d=1/uP=(np.exp((r-q)*t/steps)-d)/(u-d)prices=np.zeros(steps+1)c_values=np.zeros(steps+1)prices[0]=S*d**stepsc_values[0]=np.maximum(prices[0]-X,0)for i in range(1,steps+1):prices[i]=prices[i-1]*(u**2)c_values[i]=np.maximum(prices[i]-X,0)for j in range(steps,0,-1):for i in range(0,j):prices[i]=prices[i+1]*dc_values[i]=np.maximum((P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])/np.exp(r*t/steps),prices[i]-X)return c_values[0]
tree_americacall_Div(100,100,0.1,0.08,0.25,1,100)
Out[10]: 10.0782277099019

同理，对于本国汇率为R_f、外国汇率为r_f的外汇期权，那么P=(e^(Rf-rf)t-d)/(u-d)；对于期货期权，P=(1-d)/(u-d)。