平方预测误差(Squared prediction error，SPE)和霍特林统计量（Hotelling’s T2）原理

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故障检测是多变量过程监控的第一步。

通常，SPE（或Q-统计量）和霍特林的T2指数分别用于监测RS和PCS的正常变异性。

应注意的是，PCA或PLS建模不要求数据为高斯分布。高斯假设仅用于推导故障检测指数的适当控制限值。此外，在推导控制限值时，不需要样本的时间独立性，因为仅指定I类错误来控制假警报率。当涉及II类错误时，监测测量的时间独立性是必要的，即未检测到的故障率。

当测量值假设为高斯分布时，通常适合使用马氏距离来定义故障检测的正常区域，例如，在主分量子空间中。然而，由于过程数据通常高度相关，这使得剩余分量的方差接近于零，因此在RS中使用马氏距离将是病态的。因此，Q统计量或SPE使用欧几里德距离来定义故障检测的正常区域。由于这两个指标的互补性，还提出了用于故障检测和诊断的组合指标。

以下，我总结了这些故障检测指标。

平方预测误差(Squared prediction error，SPE)

SPE指数测量样本向量在剩余子空间上的投影，

SPE≡∥x~∥2=∥(I−PPT)x∥2(1)\mathrm{SPE} \equiv\|\tilde{\boldsymbol{x}}\|^{2}=\left\|\left(\mathbf{I}-\mathbf{P} \mathbf{P}^{T}\right) \boldsymbol{x}\right\|^{2}\tag{1}SPE≡∥x~∥2=∥∥(I−PPT)x∥∥2(1)

如果出现以下情况，则该过程视为正常

SPE⩽δ2(2)\mathrm{SPE} \leqslant \delta^{2}\tag{2}SPE⩽δ2(2)

其中 δ2\delta^{2}δ2 表示SPE的控制限值。Jackson和Mudholkar（1979）提出了控制极限 δ2\delta^{2}δ2 的表达式，该表达式近似于三阶矩的SPE分布。

当故障发生时，故障样本向量 x\mathbf{x}x 由与故障部分叠加的正常部分组成。故障会使SPE大于 δ2\delta^{2}δ2 ，从而导致检测到故障。

霍特林统计量（Hotelling’s T2）

Hotelling的T2T^2T2测量了在主分量（PCS）中的变化，

T2=xTPΛ−1PTx(3)T^{2}=\boldsymbol{x}^{T} \mathbf{P} \boldsymbol{\Lambda}^{-1} \mathbf{P}^{T} \boldsymbol{x}\tag{3}T2=xTPΛ−1PTx(3)

在正态数据服从多元正态分布的情况下，T2T^2T2统计量与FFF分布有关

N−ll(N−1)T2∼Fl,N−l(4)\frac{N-l}{l(N-1)} T^{2} \sim F_{l, N-l}\tag{4}l(N−1)N−lT2∼Fl,N−l(4)

如果数据点的数目N较大，则T2T^2T2指数可以很好地近似于具有lll个自由度的χ2\chi^2χ2卡方分布，即，

T2⩽χl2(5)T^{2} \leqslant \chi_{l}^{2}\tag{5}T2⩽χl2(5)

在正常情况下。在过程监控中，通常情况下，N非常大。因此，χ2\chi^2χ2控制限值是足够的，并且经常在过程监控文献中使用。

当来自过程数据的分数不符合多元正态性假设时，T2T^2T2的限值在实践中是不可靠的。相比之下，残差的表现要好得多。

综合指标（Combined Indices）

在实践中，有时最好使用一个指标而不是两个指标来监控流程。

有的论文中建议采用组合统计，但不给出控制限。

也有论文，如在Yue和Qin（1998）、Yue和Qin（2001）中，提出了一种用于故障检测的组合指标，它将SPE和T2T^2T2结合在一起，如下所示：

φ=SPE⁡(x)δ2+T2(x)χl2=xTΦx(6)\boldsymbol{\varphi}=\frac{\operatorname{SPE}(\boldsymbol{x})}{\delta^{2}}+\frac{T^{2}(\boldsymbol{x})}{\chi_{l}^{2}}=\boldsymbol{x}^{T} \mathbf{\Phi} \boldsymbol{x}\tag{6}φ=δ2SPE(x)+χl2T2(x)=xTΦx(6)

其中，

Φ=PΛ−1PTχl2+I−PPTδ2(7)\mathbf{\Phi}=\frac{\mathbf{P} \mathbf{\Lambda}^{-1} \mathbf{P}^{T}}{\chi_{l}^{2}}+\frac{\mathbf{I}-\mathbf{P} \mathbf{P}^{T}}{\delta^{2}}\tag{7}Φ=χl2PΛ−1PT+δ2I−PPT(7)

注意，Φ\mathbf{\Phi}Φ 是对称的和正定矩阵。

前辈大佬得出的控制极限，该结果提供了一个近似分布，其前两个矩与精确分布相同。作为二次指数，Φ\mathbf{\Phi}Φ 近似如下：

φ=xTΦx∼gχh2(8)\varphi=\boldsymbol{x}^{T} \mathbf{\Phi} \boldsymbol{x} \sim g \chi_{h}^{2}\tag{8}φ=xTΦx∼gχh2(8)

其中系数

g=tr⁡(SΦ)2tr⁡(SΦ)(9)g=\frac{\operatorname{tr}(\mathbf{S} \Phi)^{2}}{\operatorname{tr}(\mathbf{S} \Phi)}\tag{9}g=tr(SΦ)tr(SΦ)2(9)

以及χ2\chi^2χ2分布的自由度
h=[tr⁡(SΦ)]2tr⁡(SΦ)2(10)h=\frac{[\operatorname{tr}(\mathbf{S} \Phi)]^{2}}{\operatorname{tr}(\mathbf{S} \Phi)^{2}}\tag{10}h=tr(SΦ)2[tr(SΦ)]2(10)
在计算ggg和hhh之后，可以得到给定置信水平下的控制极限 φ\varphiφ 。

SPE和T2T^2T2共同定义的控制区域与组合指数的控制区域非常相似。然而，综合指标定义了一个更符合数据多正态性假设的椭圆区域。是单独使用组合指标，还是联合使用SPE和T2T^2T2，取决于应用情况。

具体实现代码可见 ⟶\longrightarrow⟶ Python代码实现-主成分分析（PCA）降维及故障诊断中的T2和SPE统计量Matplotlib出图

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