数据结构学习笔记（5.树与二叉树 6.图）
文章目录
- 第五章 树与二叉树
- 树
- 树的常考性质
- 二叉树--定义、基本术语
- 二叉树--常考性质
- 二叉树--存储结构
- 二叉树--先序、中序、后序遍历
- 二叉树--层序遍历
- 由遍历序列构造二叉树
- 线索二叉树--概念
- 二叉树的线索化--代码实现
- 线索二叉树--如何找前驱、后继
- 树--存储结构（普通的树）
- 树、森林的遍历
- 哈夫曼树
- 并查集--2022新增考点
- 并查集终极优化
- 第六章 图
- 图的基本概念
- 图的存储--邻接矩阵法
- 图的存储--邻接表法
- 图的存储--十字链表、邻接多重表
- 图的基本操作
- 图的遍历--广度优先遍历（BFS）
- 图的遍历--深度优先遍历（DFS）
- 最小生成树
- 最短路径--BFS算法
- 最短路径---Dijkstra算法
- 最短路径--Floyd算法
- 有向无环图--描述表达式
- 拓补排序
- 关键路径
第五章 树与二叉树
树
树的基本概念
- 空树，非空树
- 非空树特性
树的基本概念
- 数学描述
- 子树，子树之间互不相交
- 树是一种递归定义的结构，任何一个树都可以看做是由根节点和若干个不相交的子树所组成的
树形逻辑结构的应用
结点之间的关系描述
- 祖先结点：从一个节点出发一直往上走，直到根节点，所遇到的所有节点都是祖先结点
- 子孙结点：从一个节点出发，下面所有长出的节点都是他的子孙结点
- 双亲结点：一个结点的直接前驱，就是双亲结点，也叫父结点
- 孩子结点：一个结点的直接后继，叫孩子结点
- 兄弟结点：几个结点来自同一个父结点，他们之间就是兄弟结点
- 堂兄弟结点：几个结点父结点不同，但是爷爷结点相同，之间就是堂兄弟节点；堂兄弟结点都在同一层
结点、树的属性描述
- 我们默认结点的层次从1开始，也就是父结点为第一层
- 有些地方叫法从0层开始，考试注意审题
有序树VS无序树 - 取决于用树来做什么，是否需要结点的子树从左到右满足次序
树vs森林
- 树和森林的转换也是考点
- 树可以是空树，森林也可以为空森林
知识点小结
树的常考性质
考点1：结点数=总度数+1
考点2：度为m的树、m叉树的区别
考点2：度为m的树第i层，至多有m的i-1次方个结点
考点4：高度为h的m叉树，至多有几个结点，等比数列求和
考点5：
考点6：有n个结点的m叉树，最小高度为？让树尽可能的宽，参考前面的等比数列求和公式
知识点小结
二叉树–定义、基本术语
高频考点
二叉树的基本概念
二叉树的五种状态
考点：几个特殊的二叉树–形态上
- 满二叉树，完全二叉树；满二叉树相当于特殊的完全二叉树
- 完全二叉树如果不满的话，缺少的一定是最后面的几个叶子节点，前面的一定是按顺序排下来的，不能有跳跃
- 如果完全二叉树的某个结点只有一个孩子，那么一定是左孩子
几个特殊的二叉树–功能上
几个特殊的二叉树–平衡二叉树
- 平衡二叉树能有更高的搜索效率
- 因为平衡二叉树生长的时候尽可能长的宽，搜索的时候才能尽可能减少深度，减少对比的次数
知识点小结
二叉树–常考性质
常见考点1：
- 叶子结点比度为2的结点数多一个
常见考点2
常见考点3
- 前面证明过
完全二叉树考点1
- 要能自己推导，而不是死记硬背
完全二叉树考点2
知识点小结
二叉树–存储结构
二叉树的顺序存储
几个重要考点的基本操作
- 结点编号的关系
如果不是完全二叉树，原有的编号顺序无法反应结点的逻辑关系
- 可以仍然按照想象中的完全二叉树进行编号，不存在的结点去掉即可
- 但是不能再通过结点总数来判断左右孩子是否存在，而是用isempty来判断
- 显而易见，这样存储，会有大量的空间闲置浪费
最坏情况
- 因此二叉树的顺序存储结构只适合存储完全二叉树
- 实际中很少这么用
二叉树的链式存储–二叉链表
- n个结点就会有2n个指针域
- n个结点，每个结点的头上都有一个指针，除了根节点，因此共有n-1个指针有指向
- 所以二叉树链表共有n+1个空链域
二叉链表代码实现
二叉链表存储
- 找孩子非常容易，但是找父节点只能遍历寻找
- 也可以个结点再添加一个指针，用来存放父节点，也成为三叉链表
- 考试一般喜欢考二叉链表，然后遍历查找父节点
知识点小结
- 顺序存储的情况，如果结点从0开始编号，如何调整
- 链式存储的情况，需要注意空链域
二叉树–先序、中序、后序遍历
什么是遍历
二叉树的递归特性
二叉树遍历练习
- 给定二叉树，确定前序中序后序遍历顺序是常见考点
先序遍历–代码实现
中序遍历–代码实现
后序遍历–代码实现
空间复杂度
- 先脑补出空节点
- 红色表示第一次访问该结点，绿色表示第二次经过该结点，紫色表示第三次经过该结点
- 不难发现，每个节点都会被路过三次
应用
求树的深度
知识点小结
二叉树–层序遍历
层序遍历算法思想
- 初始化辅助队列
- 根结点入队
- 队列不空则循环
- 队列头结点出队
- 访问出队的节点
- 出队的节点如果有左右孩子，则入队
- 重新判断是否循环
代码实现
- 辅助队列使用链队列，因为不清楚需要使用多长的辅助队列
- 辅助队列只需要保存结点的指针即可，无需保存结点数据，节省空间
知识点小结
由遍历序列构造二叉树
不同二叉树的遍历序列
结论
- 若只给出一颗二叉树的前序、中序、后序、层序中的一种排列，不能唯一确定一颗二叉树
- 需要同时提供前序+中序、后序+中序、层序+中序两种排列，才能确定一颗二叉树
- 必须包含中序遍历序列
如果给出 前序+中序 遍历序列
- 前序遍历的第一个结点一定是跟结点
- 在中序遍历中找到根结点的位置，根结点左侧的都是左子树的，根结点右侧的都是右子树的
- 回到前序遍历序列，已知了根结点，左子树的结点，身下的就是右子树的结点
BDC为左子树的结点，由前序遍历序列可知，D一定为左子树的根结点，以此类推，往下找
再看一个例子
如果给出 后序+中序 遍历序列 - 原理类似，后序遍历序列中的最后一个点就是根结点
- 在中序遍历序列中找到根结点的位置，左侧的为左子树的结点，右侧的为右子树的结点
- 后面的结点推导类似
举个例子
如果给出 层序+中序 遍历序列
- 层序遍历序列的第一个是根结点，然后是左子树根结点，右子树根结点
举个例子
AB是左右子树的根结点，由中序遍历序列可知，左右子树各自的下边的左右子树
再举个例子，左子树为空的情况
知识点小结
- 重点是找到根结点
- 通过根结点在中序遍历序列中的位置，分出左右子树的结点，找到左右子树的根结点
- 再根据左右子树的跟结点，再在中序遍历序列中找到左右子树各自的左右子树
- 以此类推
- 中序遍历序列不可缺少，因为需要通过中序遍历序列区分左右子树
- 前序、后序、层序的两两组合不能唯一确定二叉树
线索二叉树–概念
二叉树中序遍历
- 二叉树中序遍历必须从根结点出发才能进行
- 但是给定一个线性表，可以从任意结点向后遍历
- 想要找到二叉树一个结点的前驱和后继，必须从头完整的遍历整个二叉树
- 如果需要频繁查找任意结点的前驱、后继，普通的二叉树处理就会很麻烦
- 这里我们说的前驱和后继，是中序遍历序列中的前驱和后继
中序线索二叉树
- n个结点的二叉树，有n+1个空链域，可以用来记录前驱，后继信息
- 将普通的二叉树进行中序线索化
- 有了线索化，就意味着从一个点出发可以找到后继，也就可以实现从一个点向后遍历
- 但是有些节点没有空链域，而是正常指向了左右孩子，如何找中序遍历的前驱和后继呢？后面小结讲
- 有了线索，找遍历的前驱、后继更方便，遍历也更加方便
线索二叉树的存储结构
- 如何区别结点中存储的是孩子还是线索？结点的结构体增加两个变量，存储左右的标记
- 二叉树线索化之后也可叫做线索链表
- 如果有空链域，左空链域存前驱，右空链域存后继
同理，有前序、后续的线索二叉树，原理都类似
- 先确定遍历序列
- 再找空链域进行线索化
后序线索二叉树
三种线索二叉树的对比
- 区别在于确定各个结点的前驱、后继的时候，到底是按照中序遍历、前序遍历、还是后序遍历
- 概念：中序前驱，指如果按照中序遍历的话，当前结点对应的前驱是什么；其他名字一次类推
知识点小结
- 手算线索化
二叉树的线索化–代码实现
土办法找到中序前驱
- 其实就是pre延迟一步，跟着q结点跑，直到p==q，则pre就是q上一步的结点，也就是p的前驱
- 还是需要遍历一遍，比较low
既然要中序线索化，就要找前驱和后继，
- 将上述土办法移至到二叉树线索的代码中
- q指针用来中序遍历，pre慢一步跟着q跑
- q结点添加前驱线索，pre添加后继线索
- q和pre交替前进，刚好每个节点都会添加前驱和后继（如果有空链域的话）
- 最后一步还要在外层函数中单独处理，让pre的后继线索为空，标记为1，因此需要设置pre为全局变量
中序线索化完整代码
- 实际上就是在中序遍历访问各个结点的过程中，一边遍历一边处理这节点，进行线索化
王道书中的代码
- 书中的pre变成了局部变量而已，但是使用了引用参数，方便函数调用的时候能保存参数的变化
前序线索化
- 原理都一样
- 为了避免原地打转，访问结点时需要判断标记为，知道此时的左右孩子到底是子树，还是线索
王道书版本前序线索化
- 最后一个结点pre的lchild必然是null
后续线索化 - 原理一样
- 后续线索化不会出现转圈问题
知识点小结
线索二叉树–如何找前驱、后继
中序线索二叉树找中序后继
- p为根结点，如果p有后继指针，直接获取后继
- 如果p没有后继指针，那么p的后继是右子树的第一个被中序遍历的结点
- p为根子树，第一个被访问的结点就是最左下的结点（不一定是叶子结点）
- 右子树第一个被访问的点，就是右子树最左下的点
- 利用线索可以实现中序遍历，非递归算法，空间复杂度O(1)
中序线索二叉树找中序前驱
- 中序序列中，找一个点的前驱就是这个点的左子树的最后一个被访问的点
- 左子树最后一个被访问的结点就是这个左子树中最右下的结点
- 如果左指针本来就是线索的话，直接返回线索即可
- 找到最后的中序的遍历点，再不断地找前驱点，即可逆向遍历中序二叉树
前序线索二叉树找前序后继
- 找p结点的前序后继要分情况讨论
- p结点有左孩子和p结点没有左孩子的情况
前序线索二叉树找前序前驱
- 如果p结点左指针是线索，那么直接返回前驱线索即可
- 如果p结点左指针为左孩子，那么就找不到前驱了，因为前序遍历是 根 左 右
- 可以尝试用三叉链表保存父节点信息
- p若没有父结点，那就拉倒了
如果能找到p的父节点
- 需要分四种情况
- 第三种情况，p的前驱结点为左兄弟子树中最后一个被前序遍历的节点；
- 如何找这个结点，在左兄弟子树中优先向右下找，右下没有再向左下找
后序线索二叉树找后序前驱
- 有左线索，则返回前驱
- 没有左线索，则有左孩子；如果有左孩子，则要看是否有右孩子，分情况讨论
后序线索二叉树找后序后继
- p若有右指针为后继线索，则直接返回
- p若有孩子，p的左右子树只能是p的前驱，所以p只能向上找父节点
- 找p的父结点要么用土办法遍历，要么使用三叉连链表
- 如果p没有父结点，p是根结点，那就拉倒了
如果能找到p的父结点
- 分三种情况
- 第三种情况，p有右兄弟，则p的后继为右兄弟的第一个被访问的结点
- 如何找右兄弟第一个点，尽量向左下方向找，左下没有再向右下找
知识点小结
树–存储结构（普通的树）
树的逻辑结构
双亲表示法（顺序存储）
- 新增数据：有一些类似层序，但又不是，无需按逻辑上的次序存储
- 删除数据
- 方案一：将结点数据清空，双亲指针设为-1
- 方案二：尾部的数据移动过来填上
- 如果删除的是叶子结点，正常删除即可；如果不是叶子结点，意味着该结点后面的孩子结点都删除
- 如何找孩子？给定结点查双亲结点方便，找孩子只能从头遍历
孩子表示法–顺序+链式存储
- 顺序存储用来存储各个结点的结构体，结构体包含数据本身和孩子指针结构体
- 孩子指针结构体就是链表结构
- 思考优缺点，找孩子容易，找双亲麻烦
孩子兄弟表示法–链式存储–常见考点
- 左指针指向第一个孩子，右指针指向右兄弟
- 树转成二叉树
树转成二叉树
森林转成二叉树
知识点小结
树、森林的遍历
树的先根遍历
- 伪代码：先访问根，再依次访问各个孩子，访问各个孩子的时候再进行访问根的递归操作
- 树的先根遍历的序列和与之对应的二叉树的前序遍历序列是一样的
树的后根遍历
- 现访问树的孩子，再访问根
- 树的后根遍历序列与对应的二叉树的中序遍历序列是相同的
树的层次遍历–使用辅助队列
- 与之前的层次遍历一样
- 探索范围是尽可能的宽，也叫广度优先遍历
- 先根遍历和后根遍历也称为深度优先遍历
森林的前序遍历
- 使用递归
- 森林的前序遍历效果等同依次对各个子树进行先根遍历的效果
- 也可以转成二叉树，等同于二叉树的前序遍历
森林的中序遍历
- 效果等同于依次对各个子树进行后根遍历
- 也可转成二叉树，效果等于对二叉树进行中序遍历
知识点小结
哈夫曼树
带权路径长度
哈夫曼树–最优二叉树
哈夫曼树的构造
哈弗曼编码
- 发送电报运用了哈夫曼树的原理
如何尽可能减小传输的bit数
- 构造哈夫曼树
- 使用可变长度编码
哈夫曼编码
- 如果给字符集设计可变长度编码，那么所有的字符在编码树种只能是叶子结点，不可以是分支节点
- 如果某一字符成为了分支节点，那么解码时就可能产生歧义，因为某一个字符的编码可能成为其他编码的前缀
- 前缀编码
哈夫曼编码也不唯一
哈弗曼编码可以用于数据的压缩
知识点小结
并查集–2022新增考点
属于集合类型的逻辑结构
集合：将元素划分为若干个互不相交的子集
代码表示集合：
- 可以将同一个子集中的各个元素，组织成一棵树
- 如何判断元素属于哪个集合，查根结点
- 根结点相同的两个元素，属于同一个子集
- 两个集合合并为一个集合，只需要让一棵树成为另一棵树的子树即可
- 这就是并和查
并查集存储结构
- 双亲表示法最适合，主要都是在查根结点
- 并查集的存储结构本质上就是树的双亲表示法
并查集代码实现–初始化
并查集代码实现–并和查
并查集时间复杂度分析
- 并操作：O(1)
- 查操作：最坏时间复杂度O(n)，与树高相关，如果需要优化，尽量将数变宽
对并操作的优化–union
- 让每次的合并都是小树合到大树上
- 可以用根结点的绝对值，百奥是树的结点总数
合并操作之后，发现，树高并没有发生变化
优化union后，查的操作最坏时间复杂度O(log2n)
知识点小结
并查集终极优化
查操作的优化
- 压缩路径，尽量使得查找路径变短
优化
- 查找后发现，BEL都在同一路径上，且最后指向A
- 可以将他们都指向根结点，这样BEL到根结点都用一次就能到
查找优化
- 正常查找根结点
- 再次查找原路径，将路径上的
并查集的优化前后对比
第六章 图
图的基本概念
图的定义
- 点集不可以空，边集可以为空
图的应用
- 铁路网，交通网
- 社交软件中的用户关系
无向图，有向图
- 无向边，有向边
- 无向边：圆括号表示
- 有向边：尖括号表示，弧尾，弧头
简单图，多重图
- 这里，我们默认探讨简单图
顶点的度
- 无向图：顶点的度，依附于该顶点的边的条数
- 有向图：入度，以该顶点为重点的有向边的数目；出度，以该顶点为起点的有向边的数目
- 有向图的度，指入度与出度之和
顶点之间关系描述
- 路径，回路
- 简单路径，简单回路
- 路径长度，顶点到顶点的距离
- 连通，强连通
连通图，强连通图考点
研究图的局部-子图，生成子图
连通分量
- 包含尽可能多的顶点和边的意思，延展到不能再延展了，其实就是独立出来的一个子图
- 比如全国的铁路网和海南岛的铁路网的关系
强连通分量 - 类似于连通分量，无向图改成有向图
生成树
- 无向图，基于连通图的全部顶点，连成一个极小连通子图，最大限度的减少边的数量
生成森林
- 一个非连通图，可以划分为若干个连通分量（极大连通子图），得出他们各自的生成树，这些生成树构成了森林
边的图，带权图
- 除了点可以带权，边也可以带权
无向完全图，有向完全图
稀疏图，稠密图
- 没有个明显的界限
树
- 树也是一种特殊的图
- 考点：多少边必有回路
- 有向树并不是一个强连通图，因为强连通图要求任意一对顶点之间强连通
知识点小结，常见考点
图的存储–邻接矩阵法
邻接矩阵法
- 画图理解
- 用二维数组表示矩阵，0表示无，1表示有
- 无向图是关于主对角线对称的
- 再用一个一维数组存放顶点信息，顶点在一维数组和在二维数组中的位置是相互对应的
如何求度，入度，出度
带权图
- 没有边用无穷表示
- 最大的int标识无穷
- 自己指向自己有时候用无穷，有时候也用0表示
邻接矩阵性能分析
- 空间复杂度O(n的平方)
- 适合存储稠密图
- 无向图是对称矩阵，也可以用上三角，下三角进行压缩
邻接矩阵法的性质
- A的n次方，表示矩阵A与矩阵A相乘
- 可以表示一个点到另一个点再到另一个点的距离
- n越大表示点越多
- 不好用语言表述，需要看视频
基于上面的n=2结果，再计算n=3的情况
更严谨的数学方法需要使用离散数学
知识点小结
图的存储–邻接表法
邻接矩阵表示法
- 空间复杂度高，适合存储稠密图，不适合存储稀疏图
邻接表
- 顺序+链式存储
无向图的存储
- 数组存储各个结点
- 如果结点有边，就在这个结点后面挂链表，链表的结点里保存的就是边的信息，保存的是指向哪一个结点的信息
- 这种表示法类似于树的孩子表示法
邻接表法，无向图与有向图
- 有向图：当前结点指向哪里，就是添加一个链表的结点信息
- 无向图：同一个边会被两个结点都记录下来，因此边的信息有冗余，空间复杂度较高
- 有向图：每一条弧只会被记录一次
- 求无向图的度：遍历该结点的边链表即可
- 求有向图的出度：遍历该结点即可
- 求有向图的入度：只能遍历所以结点，看哪个结点的边链表里有指向当前结点的边信息，时间复杂度较高
- 求指向该结点的弧：和找入度类似，也需要遍历所有结点的边链表
邻接表法表示不唯一
- 邻接矩阵法表示图是唯一的
知识点小结
图的存储–十字链表、邻接多重表
十字链表存储有向图
- 十字链表只能用于存储有向图
- 区分顶点结点、弧结点；
- 作为顶点结点：保存数据，指向外面时对应的弧结点，被外面指向时所对应的弧结点
- 作为弧结点：保存弧头和弧尾的编号，保存弧头相同的其他弧，保存弧尾相同的其他弧
- 从一个结点出发
- 沿着绿色指针往下找，就是找当前顶点的所有发射出去的弧
- 沿着橙色指针往下找，就是找当前顶点的所有接收过来的弧
- 空间复杂度也优秀，比较邻接矩阵更节省空间
邻接矩阵、邻接表存储无向图
邻接多重表存储无向图
- 只适合存储无向图
- 顶点结点：保存数据，指向第一个边结点（指向编号最小的顶点对应的边）
- 边结点：存储相连的两个顶点的编号，顶点不分先后，但是要明确；保存两个边结点的指针
- 边结点里的两个指针要与保存的两个顶点一一对应；
- 比如，C连接的第一个边结点里面，C是2号橙色，那么找C的下一个边结点的时候，也要通过橙色指针往下找
邻接多重表优点
- 一条边只对应一个边结点，无需保存荣誉数据
- 删除边结点，只需要将其他指向该结点的指针变为空即可
- 删除顶点，需要删除与该顶点相连的边，在将指向该边结点的指针变为空，再删除顶点信息
- 空间复杂度很优秀
知识点小结
- 不大可能考代码，因为实现代码复杂
- 重点理解特性
图的基本操作
判断图G是否存在边–无向图
- 邻接矩阵优于邻接表
判断图G是否存在边–有向图
- 邻接矩阵优于邻接表
列出图G中与顶点x临接的边–无向图
- 邻接矩阵：遍历该顶点的一行或一列
- 邻接表：遍历该顶点后面的边结点
列出图G中与顶点x临接的边–有向图
- 邻接矩阵：遍历该顶点的出边或入边所对应的行或列
- 邻接表：遍历所有顶点的所有边结点，找到哪些边结点指向当前顶点
在图G中插入一个顶点x–无向图
- 邻接矩阵：给原矩阵新增一行和一列，存储数据默认为0应该是初始化时就完成好的
- 邻接表：在存储顶点的数组中新增一个顶点即可
- 有向图也类似
从图G中删除顶点x–无向图
- 邻接矩阵：如果真的删除一行和一列，意味着后续正大量元素都要跟着移动，不适合；可以给对应的行和列置零，给顶点元素增加一个标记用于表示空顶点；
- 邻接表：将该顶点在数组中的位置置空，遍历所有其他顶点对应的边结点，如果有指向这个顶点的，也要删除
从图G中删除顶点x–有向图
- 邻接矩阵：类似
- 邻接表：删除顶点后面的结点，遍历所有顶点的结点，找出指向该顶点的结点，并删除
向图G中添加边–无向图
- 有向图类似
找到图G中顶点x的第一个临接点–无向图 - 邻接矩阵：扫描一行直到遇到第一个邻接点
- 邻接表：顶点连接的第一个边结点就是
找到图G中顶点x的第一个临接点–有向图
- 邻接矩阵：出边找行，入边找列，扫描一行或一列直到遇到第一个邻接点
- 邻接表：找出边，顶点连接的第一个边结点就是；找入边，遍历所有顶点对应的边结点
给定图G的顶点连接的第一个邻接点，找下一个邻接点–无向图
- 扫描行或列，找到第二个即可
- 找顶点，找到后面第二个边结点即可
给指定的某边或某弧设置权值
- 重点在于找到这个边是否存在
知识点小结
- 考试中可能会用到，找顶点的第一个邻接点，第二个邻接点，图的操作中可能会用到
- 直接调用函数接口也是可以的
图的遍历–广度优先遍历（BFS）
树与图的对比
图的广度优先遍历思路
- 找到与一个顶点相邻的所有顶点
- 标记哪些顶点被访问过
- 需要一个辅助队列
- 上一节有这些基本操作的实现
图的广度优先遍历代码实现
小练习
遍历序列的可变性
- 邻接矩阵是固定的，遍历序列也固定
- 邻接表由于边链表不唯一，导致遍历序列可能也不唯一
算法存在的问题
- 如果是非联通图，则无法遍历完所有的顶点
- 解决方案：遍历visited数组，对遇到的第一个false点进行广度优先遍历，最终能确保数组中的所有顶点都被访问
- 因此，对于无向图，调用BFS函数的次数=连通分量的次数，
复杂度分析
- 无需钻到代码最深层计算，换个思路，只需要看要访问多少顶点，访问多少边
- 没有看for循环的原因，如果是连通分量，则没有循环，但是也访问到了，这也是这个算法的特点
广度优先生成树 - 由广度优先遍历过程确定的
- 邻接表表示的方式不唯一，因此对应的广度优先生成树也不唯一
广度优先生成森林
- 每个连通分量都可以通过遍历对应广度优先生成树
- 所有广度优先生成树形成一个广度优先生成森林
练习-广度优先遍历-有向图
- 思考，能不能只调用一次BFS完成遍历
知识点小结
图的遍历–深度优先遍历（DFS）
回顾树的先根遍历
图的深度优先遍历
- 访问的顶点有可能被访问过了，因此需要visit表用来标识
- 遍历思想类似于树的先根遍历
算法存在的问题
- 如果存在多个连通分量，也可能会遍历不完全
- 解决方法：类似广度的处理，加入扫描visit数组，寻找没有被访问的第一个顶点，然后对其执行DFS函数
空间复杂度
时间复杂度
练习
基于邻接表表示方式不唯一，对应的深度优先遍历也不唯一
深度优先生成树
- 遍历时，一个顶点只需被访问一次，多余的边去掉
- 邻接表表示方式对应的树也不唯一
生成森林
- 每个连通分量对应一个生成树
知识点小结
最小生成树
生成树
- 包含图中全部顶点的一个极小连通子图
- 顶点数为n，则他的生成树有n-1条边
- 广度优先遍历和深度优先遍历可以生成不同形态的生成树
最小生成树（最小代价树）
- 一个带权的，连通的，无向图可能会有多个生成树
- 找出权值之和最小的那个生成树
- 最小生成树可能会有多个
- 最小生成树的边数=顶点数-1，砍掉一条边就会不连通。增加一条边就会形成回路
- 如果连通图本身就是一棵树，其最小生成树就是它本身
- 只有连通图才有生成树，非连通图只能生成森林
求最小生成树
- Prim算法，Kruskal算法，
- 考察代码的概率不高，重点学习如何手动的实现算法原理
Prim算法（普里姆）
如果在选择4的时候，可能会有多个选择，多个结果
也可以从不同的结点出发建立最小生成树
Kruskal算法（克鲁斯卡尔）
两种算法对比
知识点小结
最短路径–BFS算法
BFS广度优先算法求无权图的单源最短路径
代码实现
- 基于广度优先遍历来进行改造
- d[]数组保存各点到源点的距离，path[]数组保存当前结点的前驱结点
知识点小结
最短路径—Dijkstra算法
BFS广度优先遍历算法的局限性
- 只适用于解决不带权的图
Dijkstra算法手动执行过程
- 文字难以形容，需要看原视频
- 考试主要考察手动执行原理
- 强烈推荐看B站视频：https://www.bilibili.com/video/BV1zz4y1m7Nq?spm_id_from=333.337.search-card.all.click
得到最短路径的数组，如何使用
计算机实现–了解
- 时间复杂度 O(n平方)
带负权值的图
- Dijkstra不适用于带负权值的图
- 什么时候会用到负权值，比如吃鸡中毒圈会掉血，但是医疗包会回血
最短路径–Floyd算法
Floyd算法
- 用来求出任意两点之间的最短路径
- 初始两个矩阵，一个用来记录顶点之间的直接距离，一个记录两个顶点之间的中转顶点
- 遍历所有顶点，使用算法求出，是否可以再某两个顶点之间增加中转点，可以让路径更短，如果有就更新两个矩阵
- 这是遍历到各个顶点的情况
经过n轮递推，得到两个矩阵，由此可以找出任意两点的最短距离
代码实现
- A就是图的邻接矩阵，path初始都给-1
- 时间复杂度，空间复杂度
- 这是王道书中的例子，但是结点只有3个
结点较多的情况
- 两个顶点最终可能会经过多个中转点，path上只记录最近的一次，也就是离终点最近的那个中转点
v4没有任何修改
根据矩阵找最短路径
- 通过递方方法，不断找到这个中转点的上一个中转点
- 实际考试不太可能给这么复杂的图，因为计算量太大，顶多三阶四阶矩阵
练习
- 可以解决Dijkstra不能解决的带负权值的图
不能解决的问题
- 带有负权回路的图
- 因为负权路径越多，权值越小
知识点小结
有向无环图–描述表达式
有向无环图
- 不存在环路
DAG描述表达式
- 简化重复的计算过程
做题总结规律
- 实际答题中很容出现遗漏，没有合并完全
- 王道总结的经验，如果合并完全，最中的合并结果是顶点中不可能出现重复的操作数
解题步骤
- 列出操作数
- 标出生效顺序
- 按顺序加入运算符，注意分层；只有同一层的操作数才是要直接与当前运算符计算的
- 从底向上逐层检查同一层的运算符是否可以合体，只有运算符和操作数都相同就可以合并
合并
练习
如果调换运算的顺序，也可能会得到不同形态的有向无环图
拓补排序
AOV网
- AOV网一定是个有向无环图
拓补排序
- 找到做事的先后顺序
- 拓补排序的实现
- 如果原图有回路，则无法使用拓补排序
基于邻接表的代码实现
逆拓补排序
代码实现
- 思路与拓补排序相似，只不过找的是出度为0的结点
- 逆拓补排序推荐使用邻接矩阵，因为邻接表中的边结点找上一个结点需要遍历整个邻接表，时间复杂度大
- 邻接矩阵只需要遍历一条边即可
- 也可以使用逆邻接表，每一个顶点后面的边结点，其实是指向当前节点的边
逆拓补排序的实现–DFS算法
- 拓补排序–DFS算法后续讲
知识点小结
关键路径
AOE网
- 带权有向图，顶点表示事件，有向边表示活动
源点，汇点 都只有一个，中间可以有多条路径
关键路径，关键活动
从前往后推，最早发生时间
从后往前推，最迟发生时间
时间余量
- 关键路径从前往后推，从后往前推，时间节点都是一样的，没有时间余量，因此不能拖延
求关键路径的步骤
知识点小结 - 考点，求关键路径，关键活动
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