数据结构(C语言版 严蔚敏著)——树
· 树（tree）是n（n>=0）个结点的有限集。当n=0时成为空树，在任意一颗非空树中：
//这里只需掌握定义，重点在二叉树
-有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
-当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm,
其中集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。
- n>0时，根结点是唯一的，坚决不可能存在多个根结点。
- m>0时，子树的个数是没有限制的，但它们互相是一定不会相交的。
· 结点拥有的子树称为结点的度（Degree），树的度取树内各结点的度的最大值 。
-度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点。
-度不为0的结点称为分支结点或非终端结点，除根结点外 ，分支结点也称为内部结点。
· 结点的子树的根称为结点的孩子(Child),相应的，该结点称为孩子的双亲(Parent),
同一双亲的孩子之间互称为兄弟(Sibling)。
· 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。
· 结点的层次(Level)从根开始定一起，根为第一层，根的孩子为第二层。
· 其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
· 树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度。
· 如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树
为有序树，否则称为无序树。
二叉树
定义
· 二叉树是n(n>=0)个结点 的 有限集合，该集合或者为空集(空二叉树)，或者由
一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
特点
· 每个结点 最多 有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
· 左子树和右子树是有顺序的,次序不能颠倒。
· 即使树中某节点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
五种基本形态
· 空二叉树
· 只有一个根结点
· 根结点只有左子树
· 根结点只有右子树
· 根结点既有左子树又有右子树
满二叉树
-在一棵二叉树中，如果所有分支点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，
这样的二叉树称为满二叉树。
· 满二叉树的特点有：
-叶子只能出现在最下一层。
-非叶子结点的度一定是2。
-在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数一定最多，同时叶子也是最多。
完全二叉树
· 对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树
中编号为i的结点位置完全相同，则这颗 二叉树称为完全二叉树。
· 完全二叉树的特点有：
-叶子结点只能出现在最下两层。
-最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
-倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
-如果结点度为1，则该结点只有左孩子。
-同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。
· 注意：满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。
二叉树的性质
· 性质一：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)。
· 性质二：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)。
· 性质三：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
-推导过程
-首先再假设度为1的结点数为n1，则二叉树T的结点总数n=n0+n1+n2
-其次发现连接树总是等于总结点数n-1，并且等于n1+2*n2
-所以n-1=n1+2*n2
-所以n0+n1+n2-1=n1+n2+n2
-最后n0=n2+1
· 性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为取下整的(log2n)+1
-由满二叉树的定义结合性质二可得，深度为k的满二叉树的结点树n一定是2^k-1。
-对于满二叉树可以通过n=2^k-1推得满二叉树的深度为k=log2（n+1）
-对于倒数第二层的满二叉树我们同样很容易回推出它的结点数为n=2^(k-1)-1
-所以完全二叉树的结点数的取值范围是：2^(k-1)-1<n<=2^k-1
-由于n是整数，n<=2^k-1可以看成n<2^k
-同理2^(k-1)-1<n可以看成2^(k-1)<=n
-所以2^(k-1)<=n<2^k
-不等式 两边同时取对数，得到k-1<=log2n<k
-由于k是深度，必须取整，所以k为取下整的(log2n)+1
· 性质五：如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为(log2n)+1)的结点
按层序编号，对任一结点i(1<=i<=n)有以下性质：
-如果i=1,则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲结点[i/2]取下整
-如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子结点是2i
-如果2i+1>n,则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1
二叉链表
存储结构：
typedef char TElemType;
typedef struct BiTNode{TElemType data;BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;
创建一个二叉树
void CreateBiTree(BiTree &T){//按先序遍历输入结点，左孩子或右孩子为空，用空格代替char c;scanf("%c",&c);if(c==' '){//如果为空格，则指向的左孩子或者右孩子为空T=NULL;} else{//创建结点，按照先序遍历创建T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));if(!T)exit(0);T->data=c;CreateBiTree(T->lchild);CreateBiTree(T->rchild);}
}二叉树的遍历
· 二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得
每个结点被访问一次且仅被访问一次。
· 二叉树的遍历次序不同于线性结构，线性结构最多也就是分为顺序、循环、双向等
简单的遍历方式。
· 树的结点之间不存在唯一的前驱和后继这样的关系，在访问一个结点后，下一个被
访问的结点面临着不同的选择。
· 二叉树的遍历方式可以很多，主要有下面三种：
· 前序遍历：
-若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。
· 中序遍历：
-若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序
遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。
· 后序遍历：
-若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后根结点。
先序遍历：ABCDEFGHK
中序遍历：BDCAEHGKF
后序遍历：DCBHKGFEA
递归遍历算法代码实现：
void PrintElement(TElemType e){printf("%c",e);
}void PreOrderTraverse(BiTree T){if(T){//先序遍历//三种遍历方式只不过更换下面三句语句的顺序PrintElement(T->data);PreOrderTraverse(T->lchild);PreOrderTraverse(T->rchild);}
}
void InOrderTraverse(BiTree T){//中序遍历if(T){InOrderTraverse(T->lchild);PrintElement(T->data);InOrderTraverse(T->rchild);}
}void PostOrderTraverse(BiTree T){//后序遍历if(T){PostOrderTraverse(T->lchild);PostOrderTraverse(T->rchild);PrintElement(T->data);}
}非递归的两种算法：
· 另需定义一个栈，存储结点
#define STACK_INIT_SIZE 100 //存储空间初始分配量
#define STACKINCREMENT 10 //存储空间分配增量
typedef struct {BiTree *base; //在栈构造之前和销毁之后，base值为NULLBiTree *top; //栈顶指针int stacksize; //当前已分配的存储空间，以元素为单位
} SqStack;
int InitStack(SqStack &S) {//构造一个空栈SS.base = (BiTree *) malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(BiTree));//存储分配失败if (!S.base)exit(0);S.top = S.base;S.stacksize = STACK_INIT_SIZE;return 1;
}int Push(SqStack &S, BiTree e) {//插入元素e为新的栈顶元素if (S.top - S.base >= S.stacksize) {//栈满，追加存储空间S.base = (BiTree *) realloc(S.base,(S.stacksize + STACKINCREMENT) * sizeof(BiTree));//出错退出if (!S.base)exit(0);//使top指针重新回到栈顶S.top = S.base + S.stacksize;S.stacksize += STACKINCREMENT;}*S.top++ = e;//赋值后，指针上移return 1;
}int Pop(SqStack &S, BiTree &e) {//若栈不为空，则删除S的栈顶元素，用e返回其值//并返回1，否则返回0if (S.top == S.base)return 0;//top指针下移，并赋值给ee = *--S.top;return 1;
}int GetTop(SqStack S, BiTree &e) {//若栈不空，则用e返回S的栈顶元素，并返回1，否则返回0if (S.top == S.base)return 0;e = *(S.top - 1);return 1;
}int StackEmpty(SqStack S) {//判断栈是否为空，空则返回1，否则返回0if (S.base == S.top)return 1;elsereturn 0;
}
void unInOrderTraverse1(BiTree T){//采用二叉链表存储结构//中序遍历二叉树T的非递归 算法//方法1SqStack S;BiTree p;InitStack(S);//创建栈Push(S,T);//头结点入栈while (!StackEmpty(S)){//当栈非空时while (GetTop(S,p)&&p)//把栈顶元素给p，且p存在Push(S,p->lchild);//一直往左，直到尽头Pop(S,p);//空指针出栈if(!StackEmpty(S)){//判断是否空栈Pop(S,p);//最左边的一个结点出栈if(!p->data)//访问结点exit(0);elsePrintElement(p->data);Push(S,p->rchild);//该结点的右子树进栈}}
}void unInOrderTraverse2(BiTree T){//采用二叉链表存储结构//中序遍历二叉树T的非递归 算法//方法2SqStack S;BiTree p;//创建栈InitStack(S);p=T;while (p||!StackEmpty(S)){if(p){//根指针进栈，遍历左子树Push(S,p);p=p->lchild;} else{//根指针退栈，访问根结点 ，遍历右子树Pop(S,p);if(!p->data)exit(0);elsePrintElement(p->data);p=p->rchild;}}
}线索二叉树
普通二叉树在叶子结点中存在空指针，造成了空间浪费，线索二叉树把这些利用起来
并且能提高遍历的效率。就像链表一样，直接指示下一个结点的位置。
需要增加两个标识域
· LTage 为0 lchild域指示结点的左孩子
· LTage 为1 lchild域指示结点的前驱
· RTage 为0 rchild域指示结点的右孩子
· RTage 为1 rchild域指示结点的后继
结构体代码：
typedef char TElemType;
//Link为0表示左右孩子的指针
//Thread为1表示前驱后继的线索
enum PointerTag {Link, Thread
};
typedef struct BiThrNode {TElemType data;struct BiThrNode *lchild, *rchild;PointerTag LTag, RTag;
} BiThrNode, *BiThrTree;中序遍历线索化以及中序遍历二叉线索树T的非递归算法
//全局变量，始终指向刚刚访问过的结点
BiThrTree pre;void CreateBiThrTree(BiThrTree &T) {//遵循前序遍历约定输入char c;scanf("%c", &c);if (c == ' ')T = NULL;else {T = (BiThrTree) malloc(sizeof(BiThrNode));if (!T)exit(0);T->data = c;printf("%c", c);//先默认它有左右子树T->LTag = Link;T->RTag = Link;CreateBiThrTree(T->lchild);CreateBiThrTree(T->rchild);}
}//中序遍历线索化
void InTreading(BiThrTree p) {if (p) {//递归左孩子线索化InTreading(p->lchild);//如果该结点没有左孩子，设置LTag为Thread，// 并把lchild指向刚刚访问的结点,设为前驱if (!p->lchild) {p->LTag = Thread;p->lchild = pre;}//如果该结点没有右孩子，设置RTag为Thread，// 并把刚刚访问过结点的rchild指向当前结点,设为后继if (!pre->rchild) {pre->RTag = Thread;pre->rchild = p;}pre = p;InTreading(p->rchild);}
}void InOrderThreading(BiThrTree &Thrt, BiThrTree T) {//中序遍历二叉树T，并将其中序线索化，Thrt指向头结点if (!(Thrt = (BiThrTree) malloc(sizeof(BiThrNode))))exit(0);//建立头结点Thrt->LTag = Link;Thrt->RTag = Thread;Thrt->rchild = Thrt;//右指针回指//若二叉树空，则左指针回指if (!T)Thrt->lchild = Thrt;else {Thrt->lchild = T;pre = Thrt;InTreading(T);//中序遍历进行中序线索化//最后一个结点线索化pre->rchild = Thrt;pre->RTag = Thread;Thrt->rchild = pre;}
}void PrintElement(TElemType e) {printf("%c", e);
}void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T) {//T指向头结点，头结点的左链lchild指向根结点//中序遍历二叉线索树T的非递归算法BiThrTree p;p = T->lchild;//p指向根结点while (p != T) {//空树或遍历结束时,p==Twhile (p->LTag == Link)p = p->lchild;if (!p->data)exit(0);elsePrintElement(p->data);//访问其左子树为空的结点while (p->RTag == Thread && p->rchild != T) {p = p->rchild;PrintElement(p->data);//访问后继结点}p = p->rchild;}
}
树、森林及二叉树的相互转换
· 树转换成二叉树：
-加线，在所有兄弟结点之间加一条线。
-去线，对树中每个结点，只保留它与第一孩子结点的连线，
删除它与其他孩子结点之间的连线。
-层次调整，以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转
一定角度，使之结构层次分明。
1.第一步，在树中所有兄弟结点之间加一连线
2.第二步，对每个结点，除了保留与其长子的连线外，去掉该结点与其它孩子的连线。
· 森林转换二叉树：
-先将森林中的每棵树变为二叉树。
-再将各二叉树的根结点视为兄弟从左至右连在一起，就这样形成一个二叉树。
把第一棵根结点为根结点，其他根结点连起来，作为它的右子树。
1.第一步，先将森林中的每棵树变为二叉树。
2.第二步，将各二叉树的根结点视为兄弟从左至右连在一起。
· 二叉树到树、森林的转换
-二叉树转换为普通树是刚才的逆过程，步骤也就是反过来而已
-判断一棵二叉树能够转换成一棵树还是森林，那就是只要看这棵
二叉树的根结点有没有右子树，有的话就是森林，没有就是一棵树。
树与森林的遍历：（理解）
· 树的遍历分为两种方式：一种是先根遍历，另一种是后根遍历。
· 先根遍历：先访问树的根结点，然后再依次先根遍历根的每棵子树。
· 后根遍历：依次遍历每棵子树，然后再访问根结点。
· 先根遍历结果：ABEFCGDHIJ
· 后根遍历结果：EFBGCHIJDA
·森林的遍历也分为前序遍历和后序遍历，其实就是按照树的先根遍历和
后根遍历依次访问森林的每棵树。
· 有个 惊人的发现：树、森林前根(序)遍历和二叉树的前序遍历结果相同，
树、森林的后根(序)遍历和二叉树的中序遍历结果相同
· 于是我们可以找到对树和森林遍历这种复杂问题的简单解决方案。
赫夫曼树
· 结点的路径长度：
-从根结点到该结点的路径上的连接数。
· 树的路径长度：
-树中每个叶子结点的路径长度之和。
· 结点带权路径长度：
-结点的路径长度与结点权值的乘积。
· 树的带权路径长度：
-WPL是树中所有叶子结点的带权路径长度之和。
WPL值越小，说明构造出来的二叉树性能越优
赫夫曼树的构造过程
-选权值最小的两个结点构成一个二叉树，其双亲结点权值为两个结点权值之和。
-然后再选取剩下结点的权值最小的，与上一步的二叉树组合，构成新的二叉树，
如此重复，直到没有结点剩下，这棵二叉树便是赫夫曼树。
构造完成。
注意：为了使得到的哈夫曼树的结构尽量唯一，通常规定生成的哈夫曼树中每个结点的左子树
根结点的权小于等于右子树根结点的权。
赫夫曼编码
· 赫夫曼编码可以有效地压缩数据(通常可以节省20%~90%的空间，具体压缩率依赖于数据的特性)。
· 定长编码、变长编码、前缀码
-定长编码：类似于ASCII编码。
-变长编码：单个编码的长度不一致，可以根据整体出现频率来调节。
-前缀码：没有任何码字是其他码字的前缀。
· 赫夫曼树中没有度为1的结点(这类树又称为严格的二叉树)，则一棵有n个叶子结点的赫夫曼树
共有2n-1个结点，可以存储在一个大小为2n-1的以为数组中。
· 由于在构成赫夫曼树之后，为求编码需从叶子结点出发走一条从叶子到根的路径；而为编码需
从根到叶子的路径。则对没个结点而言，既需知双亲的信息，又需知孩子结点的信息。
代码实现：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>typedef struct {int weight;int parent, lchild, rchild;
} HTNode, *HuffmanTree; //动态分配数组存储赫夫曼树
typedef char **HuffmanCode;//动态分配数组存储赫夫曼编码表
//这里可以理解成相当于许多字符串组成的数组void Select(HuffmanTree htree, int end, int &s1, int &s2) {//从数集中选取parent=0,weight最小的两个结点，其下标存入s1,s2int min1, min2;int i = 1;//找到第一个没有双亲的结点while (htree[i].parent != 0 && i <= end)i++;//作为一个参考的最小值，存入min1和s1min1 = htree[i].weight;s1 = i;//下个结点开始i++;//找到第二个没有双亲的结点，与前面那个作对比//较小的放min1和s1，较大的放min2和s2while (htree[i].parent != 0 && i <= end)i++;if (htree[i].weight < min1) {min2 = min1;s2 = s1;min1 = htree[i].weight;s1 = i;} else {min2 = htree[i].weight;s2 = i;}//遍历剩下无双亲的结点for (int j = i + 1; j <= end; j++) {if (htree[j].parent != 0)continue;//如果比min1小，min1,s1的数据移到min2,s2//并把当前结点的值赋给min1，结点序号给s1if (htree[j].weight < min1) {min2 = min1;min1 = htree[j].weight;s2 = s1;s1 = j;} else if (htree[j].weight >= min1 && htree[j].weight < min2) {//如果比min1大且比min2小，//则把当前结点值赋给min2，序号给s2min2 = htree[j].weight;s2 = j;}}
}void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode &HC, int *w, int n) {//w存放n个字符的权值(均>0)，构造赫夫曼树HT，并求出n个字符的赫夫曼树编码HCHuffmanTree p;int i, s1, s2, start, c, f;if (n <= 1)return;int m = 2 * n - 1;HT = (HuffmanTree) malloc((m + 1) * sizeof(HTNode));//0号单元不用//注意，第一个结点为空//每个结点赋初值//n个叶子结点for (p = HT+1, i = 1; i <= n; ++i, ++p, ++w)*p = {*w, 0, 0, 0};//m-n个终端结点for (i; i <= m; ++i, ++p)*p = {0, 0, 0, 0};for (i = n + 1; i <= m; ++i) {//在HT[1...i-1]选择parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别为 s1和s2//组合好后又成为一个新的可选结点，故[1...i-1]Select(HT, i - 1, s1, s2);//最小两个结点的双亲序号为当前iHT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;//当前i结点左右孩子序号分别是s1，s2HT[i].lchild = s1;HT[i].rchild = s2;//权重为两孩子之和HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}//---从叶子到根逆向求没个字符的赫夫曼编码---//分配n+1个字符编码的头指针向量//0号位不存放数据HC = (HuffmanCode) malloc((n + 1) * sizeof(char *));//分配求编码的工作空间char *cd = (char *) malloc(n * sizeof(char));//最后一个字符为结束符cd[n - 1] = '\0';//逐个字符求赫夫曼编码for (i = 1; i <= n; ++i) {start = n - 1;//编码结束符位置for (c = i, f = HT[i].parent; f != 0; c = f, f = HT[f].parent){//从叶子到根逆向求编码if (HT[f].lchild == c)cd[--start] = '0';elsecd[--start] = '1';}//为第i个字符分配空间HC[i] = (char *) malloc((n - start) * sizeof(char));//将遍历得到的编码串复制到HC[i]strcpy(HC[i], &cd[start]);}free(cd);
}void print_huffman_tree(HuffmanTree htree, int n) {printf("Huffman tree:\n");int m = 2 * n - 1;for (int i = 1; i < m; ++i) {printf("node_%d, weight = %d, parent = %d, left = %d, right = %d\n",i, htree[i].weight, htree[i].parent, htree[i].lchild, htree[i].rchild);}
}void print_all_huffman_code(HuffmanCode HC, int n) {printf("Huffman code:\n");for (int i = 1; i <= n; ++i) {printf("%d code = %s\n", i, HC[i]);}
}int main() {int w[5] = {2, 8, 7, 6, 5};int n = 5;HuffmanTree HT;HuffmanCode HC;HuffmanCoding(HT, HC, w, n);print_huffman_tree(HT, n);print_all_huffman_code(HC, n);return 0;
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