Codeforces 1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence 矩阵快速幂,原根转化模意义下对数,BSGS

文章目录

题意
题解
- 对数法转指数线性递推
- 原根与模意义下求对数
- 拔山盖世!
- 最终步骤

Problem Origin
狠搞了一个多星期,做出来之后仍然一知半解,写个博客重理思路.

题意

定义序列fff满足以下的递推关系式:
fi=(∏j=1kfi−jbj)modpf_i= (\prod ^k _{j=1} f^{bj} _{i-j}) mod \ pfi=(j=1∏kfi−jbj)mod p
其中p=998244353p=998244353p=998244353.
已知fff的前k−1k-1k−1项都为111,给定序列bbb,求是否存在一个fkf_kfk使得fn=mf_n=mfn=m.

题解

这个题需要相当多前置知识.

对数法转指数线性递推

递推式两边同时取333的对数.为什么要取333的对数而不是别的数的对数?待会说.
接下来利用对数的性质拆开化积成和.
log3fi=b1log3fi−1+b2log3fi−2+...+bklog3fi−k(modp)log_3f_i= b_1log_3 f_{i-1} +b_2log_3f_{i-2} +...+b_klog_3f_{i-k}(mod \ p)log3fi=b1log3fi−1+b2log3fi−2+...+bklog3fi−k(mod p)
令hx=log3(fx)h_x=log_3(f_x)hx=log3(fx),则
hi=b1hi−1+b2hi−2+...+bkhi−k(modp−1)h_i=b_1h_{i-1}+b_2h_{i-2}+...+b_kh_{i-k}(mod \ p-1)hi=b1hi−1+b2hi−2+...+bkhi−k(mod p−1)
显然序列hhh可以通过矩阵快速幂递推.
指数递推的情况,显然使用欧拉降幂的第一条,对p−1p-1p−1进行取模.
而由于f1→k−1=1f_{1\to k-1}=1f1→k−1=1,h1→k−1=0h_{1\to k-1} = 0h1→k−1=0,利用矩阵

b1 b2 b3 ... bn
1  0  0  ... 0  0
0  1  0  ... 0  0
0  0  1  ... 0  0
... ... ... ...
0  0  0  ..  1  0

求出n−kn-kn−k次幂可以完成hhh序列的递推.
此时我们发现矩阵MMM满足fkM[1][1]=m(modp)f_k^{M[1][1]}=m(mod \ p)fkM[1][1]=m(mod p).
左右对333取对数得M[1][1]hk=log3m(modp−1)M[1][1]h_k=log_3m (mod \ p-1)M[1][1]hk=log3m(mod p−1)
接下来进入第二个前置知识.

原根与模意义下求对数

一般的题目都是对一个大质数取模,当前我们仅考虑模ppp意义下的情况,其中ppp是个质数.
假设存在正整数ggg,当xxx取遍0→p−10\to p-10→p−1全部正整数时,满足gxmodpg^x mod \ pgxmod p能将0→p−10 \to p-10→p−1的每一个数全部取一遍,这样的ggg称作ppp的一个原根.
本题只需要这个定义,关于阶与原根的知识请参考无敌的oiwiki.
这样我们就能够保证对于任何x∈[0,p−1]x\in[0,p-1]x∈[0,p−1],loggxlog_gxloggx的结果都不同,也即以ggg为底的对数不同.
尝试发现g=3g=3g=3是模数p=998244353p=998244353p=998244353的一个原根,因此本题取对数的时候以333为底.

拔山盖世!

BSGS全称Baby Step Giant Step,又称拔山盖世.
拔山盖世法可以在p\sqrt{p}p时间内求出ax≡ba^x \equiv bax≡b的一个xxx.
方法如下:
令x=kp+r(r<p)x=k\sqrt{p}+r(r<\sqrt{p})x=kp+r(r<p),则枚举rrr,用map或者哈希表存储所有armodpa^r mod\ parmod p的值,再枚举kkk,寻找是否有xkp≡b×inv(xr)x^{k\sqrt{p}} \equiv b\times inv(x^r)xkp≡b×inv(xr),可以使用扩展欧几里得进行判断.大功告成.

最终步骤

第一步我们得到M[1][1]hk=log3m(modp−1)M[1][1]h_k=log_3m (mod \ p-1)M[1][1]hk=log3m(mod p−1)
用拔山盖世求出log3mlog_3mlog3m的值zzz,最终本题变为一道扩展欧几里得,排除掉不存在解的情况,求出hkh_khk,用快速幂可以得到答案.

#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
namespace chtholly{typedef long long ll;
#define re0 register int
#define rel register ll
#define rec register char
#define gc getchar
//#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<23,stdin),p1==p2)?-1:*p1++)
#define pc putchar
#define p32 pc(' ')
#define pl puts("")
/*By Citrus*/
char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){int x=0,f=1;char c=gc();for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-';for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');return f?x:-x;}
template <typename mitsuha>
inline bool read(mitsuha &x){x=0;int f=1;char c=gc();for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-';if (!~c) return 0;for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');return x=f?x:-x,1;}
template <typename mitsuha>
inline int write(mitsuha x){if (!x) return 0&pc(48);if (x<0) pc('-'),x=-x;int bit[20],i,p=0;for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10;for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48);return 0;}
inline char fuhao(){char c=gc();for (;isspace(c);c=gc());return c;}
}using namespace chtholly;
using namespace std;
const int _=205,mod=998244353;
ll kasumi(ll a,ll b=mod-2) {ll zw=1;for (;b;b>>=1,a=a*a%mod) if (b&1) zw=zw*a%mod;return zw;
}
ll bsgs(ll a,ll b) {ll m=sqrt(mod)+1,i,now=1,stp;unordered_map<ll,ll> tab;for (ll i=0;i<m;++i) {ll tmp=b*kasumi(now)%mod;if (!tab.count(tmp)) tab[tmp]=i;now=now*a%mod;} stp=now,now=1;for (ll i=0;i<mod;i+=m) {if (tab.count(now)) return i+tab[now];now=now*stp%mod;}return -1;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {if (!b) return x=1,y=0,a;ll gcd=exgcd(b,a%b,y,x);return y-=a/b*x,gcd;
}
struct juzhen{ll a[_][_],k;juzhen() {k=0,memset(a,0,sizeof a);}juzhen(ll n,ll d) {memset(a,0,sizeof a); // 就是这句没有加,我一个星期就这么没了!k=n; for (ll i=1;i<=k;++i) a[i][i]=d;}juzhen operator *(const juzhen &b) const {juzhen ans=juzhen(k,0);for (int l=1;l<=k;++l) {for (int j=1;j<=k;++j) {for (int i=1;i<=k;++i) ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][l]*b.a[l][j])%(mod-1);}}return ans;}juzhen operator ^(ll b) {juzhen zw(k,1);for (;b;b>>=1,*this=*this**this) if (b&1) zw=zw**this;return zw;}
}f,g;
ll solve(ll a,ll b,ll c) {if (!c) return 0;ll q=__gcd(a,b),x,y;if (c%q) return -1;a/=q,b/=q,c/=q;exgcd(a,b,x,y);x=x*c%b;for (;x<0;x+=b);return x;
}
int main() {ll i,k=read(),n,p; g=juzhen(k,0);for (i=1;i<k;++i) g.a[1][i]=read()%(mod-1),g.a[i+1][i]=1;g.a[1][k]=read();read(n),read(p);g=g^(n-k); ll zw=solve(g.a[1][1],mod-1,bsgs(3,p));printf("%lld\n",~zw?kasumi(3,zw):-1);
}

本题终于结束了.这是一道非常纷繁复杂的题,可能是我做过最难的2400.我因为矩阵初始化没有清零耗了一星期,把我搞得自闭了.