MATLAB教程二：MATLAB矩阵处理

文章目录

2.1 特殊矩阵
2.2 矩阵变换
2.3 矩阵求值
2.4 稀疏矩阵

2.1 特殊矩阵

通用的特殊矩阵：

zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。

ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。

eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。

rand函数：产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵。

randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。

>> zeros(2)
ans =0     00     0
>> ones(2)
ans =1     11     1
>> eye(4)
ans =1     0     0     00     1     0     00     0     1     00     0     0     1
>> rand(3)
ans =0.8147    0.9134    0.27850.9058    0.6324    0.54690.1270    0.0975    0.9575
>> randn(3)
ans =2.7694    0.7254   -0.2050-1.3499   -0.0631   -0.12413.0349    0.7147    1.4897

专门学科的特殊矩阵：

魔方矩阵：n 阶魔方阵由1,2,3,…,n² 共n² 个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各 n 个元素之和都相等。

magic(n) 函数：产生一个 n 阶魔方矩阵。

>> M=magic(3)
M =8     1     63     5     74     9     2

范德蒙矩阵：

对于向量v= [v₁，v₂，…，v_n]，范得蒙矩阵的一般形式为：
V = [ v 1 n − 1 ⋯ v 1 2 v 1 1 v 1 0 v 2 n − 1 ⋯ v 2 2 v 2 1 v 2 0 v 3 n − 1 ⋯ v 3 2 v 3 1 v 3 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ v n n − 1 ⋯ v n 2 v n 1 v n 0 ] V= \left[ \begin{matrix} v^{n-1}_1 &\cdots& v^2_1 & v^1_1 & v^0_1 \\ v^{n-1}_2 &\cdots& v^2_2 & v^1_2 & v^0_2 \\ v^{n-1}_3 &\cdots& v^2_3 & v^1_3 & v^0_3 \\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\ v^{n-1}_n &\cdots& v^2_n & v^1_n & v^0_n \end{matrix} \right] V= v1n−1v2n−1v3n−1⋮vnn−1⋯⋯⋯⋱⋯v12v22v32⋮vn2v11v21v31⋮vn1v10v20v30⋮vn0
即向量 v 各元素的零次方，倒数第二列为指定的向量 v，即向量 v 各元素的一次方，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。

vander(v) 函数：生成以向量 v 为基础的范得蒙矩阵。

>> A=vander(1:5)
A =1     1     1     1     116     8     4     2     181    27     9     3     1256    64    16     4     1625   125    25     5     1

希尔伯特矩阵：

n 阶希尔伯特(Hilbert)矩阵的一般形式为：
H = [ 1 1 / 2 ⋯ 1 / n 1 / 2 1 / 3 ⋯ 1 / ( n + 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 / n 1 / ( n + 1 ) ⋯ 1 / ( 2 n − 1 ) ] H= \left[ \begin{matrix} 1 &1/2 &\cdots& 1/n \\ 1/2 &1/3 &\cdots& 1/(n+1) \\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ 1/n &1/(n+1) &\cdots& 1/(2n-1) \end{matrix} \right] H= 11/2⋮1/n1/21/3⋱1/(n+1)⋯⋯⋮⋯1/n1/(n+1)⋮1/(2n−1)

hilb(n) 函数：生成 n 阶希尔伯特矩阵的函数。

>> format rat    %将显示形式改为分数显示
H=hilb(4)
H =1              1/2            1/3             1/41/2              1/3             1/4             1/51/3            1/4             1/5             1/61/4            1/5             1/6             1/7

帕斯卡矩阵：

矩阵如下：

H = [ 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 ] H= \left[ \begin{matrix} 1 &1 &1 &1 &1 &1 \\ 1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ 1 &3 &6 &10 &15 &21 \\ 1 &4 &10 &20 &35 &56 \\ 1 &5 &15 &35 &70 &126\\ 1 &6 &21 &56 &126&252\\ \end{matrix} \right] H= 111111123456136101521141020355615153570126162156126252

pascal(n) 函数：生成一个 n 阶帕斯卡矩阵。

>> P=pascal(5)
P =1   1   1   1   1 1     2   3   4   5 1 3   6   10  15 1    4   10  20  35 1    5   15  35  70

2.2 矩阵变换

对角阵：

对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。

数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。

单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

矩阵的对角线：与主对角线平行，往上为第1条、第2条、一直到第 n 条对角线，往下为第 -1条、-2条、一直到 -n 条对角线。主对角线为第 0 条对角线。

提取矩阵的对角线元素：

diag(A)：提取矩阵 A 主对角线元素，产生一个列向量。

diag(A,k)：提取矩阵 A 第 k 条对角线的元素，产生一个列向量。

构造矩阵：

diag(V)：以向量 V 为主对角线元素，产生对角矩阵。

diag(V,k)：以向量 V 为第 k 条对角线元素，产生对角矩阵。

>> D=diag(1:3)         %以1到3为主对角线元素，产生对角矩阵
D =1     0     00     2     00     0     3
>> A=diag(D)           %提取矩阵D的对角线元素，产生一个列向量
A =123

三角阵：

上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。

下三角阵：对角线以上的元素全为零的矩阵。

上三角矩阵：

triu(A)：提取矩阵 A 的主对角线及以上的元素。

triu(A,k)：提取矩阵 A 的第 k 条对角线及以上的元素。

下三角矩阵：

tril(A)：提取矩阵 A 的主对角线及以下的元素。

tril(A,k)：提取矩阵 A 的第 k 条对角线及以下的元素。

>> triu(ones(4),-1)
ans =1     1     1     11     1     1     10     1     1     10     0     1     1
>> tril(ones(4),1)
ans =1     1     0     01     1     1     01     1     1     11     1     1     1

矩阵的操作：

矩阵的转置：转置运算符是小数点后面接单引号（ .’ ）。

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A =1     2     34     5     67     8     9
>> A.'
ans =1     4     72     5     83     6     9

矩阵的旋转：

rot90(A,k)：将矩阵 A 逆时针方向旋转 90º 的 k 倍，当 k 为1时可省略。

>> A=[1 3 2;-3 2 1;4 1 2]
A =1     3     2-3     2     14     1     2
>> rot90(A,2)
ans =2     1     41     2    -32     3     1

矩阵的翻转：对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依此类推。

fliplr(A)：对矩阵 A 实施左右翻转

flipud(A)：对矩阵 A 实施上下翻转。

>> A=[1 3 2;-3 2 1;4 1 2]
A =1     3     2-3     2     14     1     2
>> B=fliplr(A)
B =2     3     11     2    -32     1     4
>> B=flipud(A)
B =4     1     2-3     2     11     3     2

矩阵的求逆：对于一个方阵 A，如果存在一个与其同阶的方阵 B，使得 AB=BA=I (I为单位矩阵)，则称 B 为 A 的逆矩阵，当然，A 也是 B 的逆矩阵。

inv(A)：求方阵 A 的逆矩阵。

例：用求逆矩阵的方法解线性方程组。
{ x + 2 y + 3 z = 5 x + 4 y + 9 z = − 2 x + 8 y + 27 z = 6 \begin{cases} x +2y+3z=5 \\ x+4y+9z=-2 \\ x+8y+27z=6 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+3z=5x+4y+9z=−2x+8y+27z=6
在线性方程组Ax=b两边各左乘 A^-1，得 x=A^-1b。

>> A=[1 2 3;1 4 9;1 8 27];
>> B=[5;-2;6];
>> X=inv(A)*B
X =23.0000-14.50003.6667

2.3 矩阵求值

方阵的行列式：

行列式的值：把一个方阵看作行列式，并对其按行列式的规则求值。

det(A)：求方阵 A 所对应的行列式的值。

>> A=[1 2;3 4]
A =1     23     4
>> det(A)
ans =-2

矩阵的秩：

矩阵的秩：矩阵线性无关的行数或列数。

rank(A)：求矩阵 A 的秩。

>> A=[1,2,1;3 4 3;5 3 5]
A =1     2     13     4     35     3     5
>> rank(A)
ans =2

矩阵的迹：

矩阵的迹：等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。

trace(A)：求矩阵 A 的迹。

>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =1     3     2-3     2     14     1     2
>> trace(A)
ans =5

向量和矩阵的范数：

矩阵或向量的范数：用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

norm(V) 或 norm(V,2)：计算向量(矩阵) V 的2—范数。

norm(V,1)：计算向量(矩阵) V 的1—范数。

norm(V,inf)：计算向量(矩阵) V 的 ∞ —范数。

>> X=[2 0 1;-1 1 0;-3 3 0]
X =2     0     1-1     1     0-3     3     0
>> n=norm(X)
n =4.7234
>> n=norm(X,1)
n =6

矩阵的条件数：

矩阵的条件数：等于矩阵的范数与矩阵的逆矩阵的范数的乘积。

cond(A,1)：计算 A 的1—范数下的条件数。

cond(A)或cond(A,2)：计算 A 的2—范数数下的条件数。

cond(A,inf)：计算 A 的 ∞ —范数下的条件数。

>> X=[2 0 1;-1 1 0;-3 3 0]
X =2     0     1-1     1     0-3     3     0
>> C=cond(X)
C =5.5044e+16

矩阵的特征值与特征向量：

数学定义：设 A 是 n 阶方阵，如果存在常数 λ 和 n 维非零列向量 x，使得等式 Ax=λx 成立，则称 λ 为 A 的特征值，x 是对应特征值 λ 的特征向量。

E=eig(A)：求矩阵 A 的全部特征值，构成向量 E。

[X,D]=eig(A)：求矩阵 A 的全部特征值，构成对角阵 D，并产生矩阵 X，X 各列是相应的特征向量。

>> A=[1 1 0;1 0 5;1 10 2]
A =1     1     01     0     51    10     2
>> [X,D]=eig(A)
X =0.0722    0.9751    0.08860.5234   -0.0750   -0.63560.8490   -0.2089    0.7669
D =8.2493         0         00    0.9231         00         0   -6.1723

2.4 稀疏矩阵

矩阵的存储方式：

完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储。

稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。

注意：采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

稀疏存储方式的产生：

完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化：

A=sparse(S)：将矩阵 S 转化为稀疏存储方式的矩阵 A。

S=full(A)：将矩阵 A 转化为完全存储方式的矩阵 S。

>> A=sparse(eye(5))
A =(1,1)        1(2,2)        1(3,3)        1(4,4)        1(5,5)        1
>> B=full(A)
B =1     0     0     0     00     1     0     0     00     0     1     0     00     0     0     1     00     0     0     0     1

直接建立稀疏存储矩阵：

sparse(m,n)：生成一个 m×n 的所有元素都是零的稀疏矩阵。

sparse(u,v,S)：其中 u、v、S 是3个等长的向量。S 是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是 S(i) 的行和列下标。

>> A=sparse([1,2,2],[2,1,4],[4,5,-7])
A =(2,1)        5(1,2)        4(2,4)       -7
>> B=full(A)
B =0     4     0     05     0     0    -7

spconvert(A)：A(i,1) 表示第 i 个非零元素所在的行。A(i,2) 表示第 i 个非零元素所在的列。 A(i,3) 表示第 i 个非零元素值的实部。A(i,4) 表示第 i 个非零元素值的虚部。

>> A=[2,2,1;2,1,-1;2,4,3]
A =2     2     12     1    -12     4     3
>> B=spconvert(A)
B =(2,1)       -1(2,2)        1(2,4)        3

带状稀疏矩阵的稀疏存储：带状稀疏矩阵就是一种十分典型的具有规则结构的稀疏矩阵，它是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

[B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵 A 中提取全部非零对角线元素赋给矩阵 B 及其这些非零对角线的位置向量 d。

A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵 A，其中 m、n 为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵 B 的第 i 列即为原带状稀疏矩阵的第 i 条非零对角线，向量 d 为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置

>> A =[11,0,0,12,0,0;0,21,0,0,22,0;0,0,31,0,0,32;41,0,0,42,0,0;0,51,0,0,52,0]
A =11     0     0    12     0     00    21     0     0    22     00     0    31     0     0    3241     0     0    42     0     00    51     0     0    52     0
>> [B,d]=spdiags(A)
B =0    11    120    21    220    31    3241    42     051    52     0
d =-303
>> A=spdiags(B,d,5,6)
A =(1,1)       11(4,1)       41(2,2)       21(5,2)       51(3,3)       31(1,4)       12(4,4)       42(2,5)       22(5,5)       52(3,6)       32

单位矩阵的稀疏存储：

speye(m,n)：返回一个 m×n 的稀疏存储单位矩阵。

>> speye(3)
ans =(1,1)        1(2,2)        1(3,3)        1

应用举例：

求下列三对角线性方程组的解
[ 2 3 1 4 1 1 6 4 2 6 2 1 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ] = [ 0 3 2 1 5 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ & 1 & 6 & 4 \\ & & 2 & 6 & 2 \\ & & & 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{matrix} \right] {=} \left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right] 2134116246121 x1x2x3x4x5 = 03215

>> kf1=[1;1;2;1;0];
>> k0=[2;4;6;6;1];
>> k1=[0;3;1;4;2];
>> B=[kf1,k0,k1];
>> d=[-1;0;1];
>> A=spdiags(B,d,5,5);
>> f=[0;3;2;1;5];
>> x=A\f
x =-0.16670.11112.7222-3.61118.6111

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