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作者丨P.yh

来源丨五分钟学算法

大家好，我是吴师兄，今天分享一道和数学有关的算法题，题目不难，但不优化的话会出现 一顿操作猛如虎，一看击败百分五 的情况：）

题目描述

给出集合 [1,2,3,…,n]，其所有元素共有 n! 种排列。

按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：

"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"

给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

说明：

• 给定 n 的范围是 [1, 9]。

• 给定 k 的范围是[1,  n!]。

示例 1:

输入: n = 3, k = 3
输出: "213"

示例 2:

输入: n = 4, k = 9
输出: "2314"

来源：https://leetcode-cn.com/problems/permutation-sequence

题目解析

一道比较偏数学的题目。

题意是给定 1 ～ n 的数字（n <= 9），因为数字所在的位置不同，这些数字可以组成的整数也不同。最后让你求按照组成的整数大小排序，排在第 k 的整数是多少。

要求全排列的话，时间和空间复杂度都是 O(n!)。

先看最直接的解法，通过暴力搜索，找出所有的全排列的情况，然后排序，直接就可以得出答案。

这么做的时间复杂度是 O(n!log(n!))。

很显然的是，这么做时间上面不符合要求，需要进一步优化算法。

首先考虑的一个问题是，我们需不需要找出所有的组合情况？

如果要找出所有的情况，那么时间上肯定是没法提高的。这其实就涉及到一个暴力搜索的剪支的问题，就拿 n = 3 为例，按照元素大小，全排列如下：

"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"

这里，如果说 k = 5，那么是不是可以说以 “1” 和 “2” 开始的情况我们就不需要考虑了？

我们只需要从 “3” 开始的序列开始找就可以了，这样子可以很大程度上节省搜索的成本。

那么问题来了，如何确定我们需要找的结果在不在以某个数字开头的区间内？

其实，每个数字开头的序列总个数都是一样的，比如上面的以 “1”，“2”，“3” 开头的序列个数都是 2 个，我们只需要逐个排除就行了。

如果 k = 5，因为 5 > 2，说明结果不会在以 “1” 开头的区间中。又因为 5 > 4，说明结果不会在以 “2” 开头的区间中。

但是 5 < 6 的，所以我们需要在开头是 “3” 的序列中继续找。确定了开头数字是 3 之后，我们可以把 3 排除，然后继续去用同样的方法确定第二个数字，第三个数字。。。

这样做下来，时间上面是可以大大提高的。至于具体的时间复杂度是多少，这和具体的输入有关。但是空间方面，我们并不需要 O(n!) 的空间，n 的空间（函数栈空间）就足够了。

参考代码

func getPermutation(n int, k int) string {nums := []int{}for i := 1; i <= n; i++ {nums = append(nums, i)}return helper(nums, k)
}func helper(nums []int, k int) string {totalNums := 1// 计算以每个数字开头的序列个数for i := 1; i < len(nums); i++ {totalNums *= i}for i := range nums {// 以当前数字开头的话，前面的序列的总个数sum := (i + 1) * totalNumssub := k - sum// 说明结果是以当前数字开头// 去掉当前选中的数字，递归去确定接下来的数字if sub <= 0 {arr := []int{}arr = append(arr, nums[:i]...)arr = append(arr, nums[i+1:]...)return strconv.Itoa(nums[i]) + helper(arr, k - i * totalNums)}}return ""
}

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