*一个简单的傅里叶变换

>>> import numpy as np

>>> import matplotlib.pyplot as plt

>>> x=np.linspace(0,2*np.pi,50)

>>> x

array([ 0. , 0.12822827, 0.25645654, 0.38468481, 0.51291309,

0.64114136, 0.76936963, 0.8975979 , 1.02582617, 1.15405444,

1.28228272, 1.41051099, 1.53873926, 1.66696753, 1.7951958 ,

1.92342407, 2.05165235, 2.17988062, 2.30810889, 2.43633716,

2.56456543, 2.6927937 , 2.82102197, 2.94925025, 3.07747852,

3.20570679, 3.33393506, 3.46216333, 3.5903916 , 3.71861988,

3.84684815, 3.97507642, 4.10330469, 4.23153296, 4.35976123,

4.48798951, 4.61621778, 4.74444605, 4.87267432, 5.00090259,

5.12913086, 5.25735913, 5.38558741, 5.51381568, 5.64204395,

5.77027222, 5.89850049, 6.02672876, 6.15495704, 6.28318531])

>>> wave=np.cos(x)

>>> transformed=np.fft.fft(wave) #傅里叶变换

>>> plt.plot(transformed) #绘制变换后的信号

Warning (from warnings module):

File "D:\Program Files\Python\lib\site-packages\numpy\core\numeric.py", line 531

return array(a, dtype, copy=False, order=order)

ComplexWarning: Casting complex values to real discards the imaginary part

[]

>>> plt.show()1

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傅里叶变换使用np.fft中的fft函数，可以将余弦值作傅里叶变换。

不知道为什么按董老师的代码，绘制变换后的信号时会有这样的报错，不过最后的图像可以正常显示。

*傅里叶反变换

>>> plt.plot(np.fft.ifft(transformed)) #反变换

[]

>>> plt.show()1

2

3

变换后的点用np.fft中的ifft就可以反变换回去，得到它的余弦的图像。

*移频(针对作好傅里叶变换的数据)

>>> shifted=np.fft.fftshift(transformed) #移频

>>> plt.plot(shifted)

[]

>>> plt.show()1

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3

4

使用np.fft中的ffshift可以对信号进行移频操作，还有iffshift可以将移频后的信号还原成之前的。

*对移频后的信号进行傅里叶反变换

>>> plt.plot(np.fft.ifft(shifted))

[]

>>> plt.show()1

2

3

*二维傅里叶变换

>>> import numpy as np

>>> import matplotlib.pyplot as plt

>>> x=np.random.rand(10,10) #二维随机信号

>>> wave=np.cos(x)

>>> plt.plot(wave)

>>> plt.show()1

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>>> transformed=np.fft.fft2(wave)

>>> plt.plot(transformed)

>>> plt.show()1

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二维傅里叶变换使用的函数是np.fft里的fft2()函数。

>>> plt.plot(np.fft.ifft2(transformed)) #二维反变换

>>> plt.show()1

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同样地二维反变换也使用ifft2()函数。

得到的图像和最开始变换前的图像理论上是一样的。

*滤出图像中的低频信号

首先先安装python3下的PIL包，用pip安装pillow模块就可以了。但在这之前可能需要对pip更新。

等待安装完成(cmd会回到之前的文件夹)，就可以使用PIL包了。pillow模块用于图像处理非常强大，其中的Image类是比较常用的一个类。

选择一个图像作为测试，如下图。

import numpy as np

from PIL import Image

from numpy.fft import fft,ifft

def filterImage(srcImage):

#打开图像文件并获取数据

srcIm=Image.open(srcImage)

srcArray=np.fromstring(srcIm.tobytes(),dtype=np.int8)

#傅里叶变换并滤除低频信号

result=fft(srcArray)

result=np.where(np.absolute(result)<9e4,0,result)

#傅里叶反变换,保留实部

result=ifft(result)

result=np.int8(np.real(result))

#转换为图像

im=Image.frombytes(srcIm.mode,srcIm.size,result)

im.show()

filterImage('test.jpg')1

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首先，通过自定义的函数filterImage传入这个图片的名称字符串，然后传给了Image类的open()函数，打开这样一个图片，然后得到的Image对象传给了srcIm。

然后这个Image对象srcIm调用自己的成员函数tobytes()转换成了一个字节串，然后将这个图像转换成的字节串数据通过numpy的fromstring转换成一个一维数组，传给srcArray。

然后对这个一维数组通过fft()函数进行一维傅里叶变换，变换的结果给result，它仍然是一个数组，并且其中的数都是复数(关于这一点可以自己输出看一看)。

紧接着用前面学习过的numpy的where函数(见分段函数那节)，对于这个数组result中模(numpy的absolute函数)小于9e4的部分变成0，对result作更新，这也就是滤除了低频信号。

然后就要对这个result进行一维傅里叶反变换，然后通过numpy的real()函数对数组进行函数操作，只保留复数的实部。并且转换成int8字节码，这样也就可以作为一个图像的字节串数据来看待了。

最后用Image类的frombytes函数将这个变换好的字节串数据，转换成与原来的图像(也就是Image对象srcIm)相同模式(mode)，相同大小(size)的图像对象，再用show()函数显示即可，最后的结果如下。