1 行波法

行波法：研究行进波的方法，求解无界空间的波动问题。

对于一个定解问题中偏微分方程的求解，我们可以仿照常微分方程，先求通解，然后用初始条件来求特解。

2 达朗贝尔公式

对于一个定解问题：

{utt=a2uxx−∞<x<∞u∣t=0=φ(x)−∞<x<∞ut∣t=0=ψ(x)−∞<x<∞\begin{cases}u_{tt}=a^2u_{xx}&-\infty < x <\infty\\u|_{t=0}=\varphi(x)&-\infty<x<\infty\\u_{t}|_{t=0}=\psi(x)&-\infty<x<\infty\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧utt=a2uxxu∣t=0=φ(x)ut∣t=0=ψ(x)−∞<x<∞−∞<x<∞−∞<x<∞

达朗贝尔公式如下：

u(x,t)=12[φ(x+at)+φ(x−at)]+12a∫x−atx+atψ(α)dαu(x,t)=\frac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\alpha)d\alphau(x,t)=21[φ(x+at)+φ(x−at)]+2a1∫x−atx+atψ(α)dα

3 求解问题

适定性

如果求得的解是唯一、存在、稳定的，那么这个求得的解就是适定的。

达朗贝尔公式存在、唯一，且稳定，因此它是适定的。

物理意义

φ(x−at)：以速度a沿x轴正向传播的波，即正波\varphi(x-at)：以速度a沿x轴正向传播的波，即正波φ(x−at)：以速度a沿x轴正向传播的波，即正波φ(x+at)：以速度a沿x轴反向传播的波，即反波\varphi(x+at)：以速度a沿x轴反向传播的波，即反波φ(x+at)：以速度a沿x轴反向传播的波，即反波

令Ψ(x)=1a∫x0xψ(α)dα\Psi(x)=\frac{1}{a}\int_{x_0}^x\psi(\alpha)d\alphaΨ(x)=a1∫x0xψ(α)dα，那么可以得到

12a∫x−atx+atψ(α)dα=12[Ψ(x+at)−Ψ(x−at)]\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\alpha)d\alpha=\frac{1}{2}[\Psi(x+at)-\Psi(x-at)]2a1∫x−atx+atψ(α)dα=21[Ψ(x+at)−Ψ(x−at)]

同样可以看作是反波与正波的差。

由此，我们得到结论：达朗贝尔解表示正行波和反波的叠加。

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数理方程——达朗贝尔公式

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1 行波法

2 达朗贝尔公式

3 求解问题

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