伸展树（一） - 图文解析与C语言实现

概要

本章介绍伸展树。它和"二叉查找树"和"AVL树"一样，都是特殊的二叉树。在了解了"二叉查找树"和"AVL树"之后，学习伸展树是一件相当容易的事情。和以往一样，本文会先对伸展树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后序再分别给出C++和Java版本的实现；这3种实现方式的原理都一样，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，希望您能不吝指出！

目录
1. 伸展树的介绍
2. 伸展树的C实现
3. 伸展树的C测试程序

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(01) 伸展树(一)之图文解析和 C语言的实现
(02) 伸展树(二)之 C++的实现
(03) 伸展树(三)之 Java的实现

伸展树的介绍

伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。
(01) 伸展树属于二叉查找树，即它具有和二叉查找树一样的性质：假设x为树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
(02) 除了拥有二叉查找树的性质之外，伸展树还具有的一个特点是：当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。

假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生，它是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

相比于"二叉查找树"和"AVL树"，学习伸展树时需要重点关注是"伸展树的旋转算法"。

伸展树的C实现

1. 节点定义

typedef int Type;typedef struct SplayTreeNode {Type key;                        // 关键字(键值)struct SplayTreeNode *left;        // 左孩子struct SplayTreeNode *right;    // 右孩子
} Node, *SplayTree;

伸展树的节点包括的几个组成元素:
(01) key -- 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。

外部接口

// 前序遍历"伸展树"
void preorder_splaytree(SplayTree tree);
// 中序遍历"伸展树"
void inorder_splaytree(SplayTree tree);
// 后序遍历"伸展树"
void postorder_splaytree(SplayTree tree);// (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key);
// (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key);// 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
Node* splaytree_minimum(SplayTree tree);
// 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
Node* splaytree_maximum(SplayTree tree);// 旋转key对应的节点为根节点。
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key);// 将结点插入到伸展树中，并返回根节点
Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key);// 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点
Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key);// 销毁伸展树
void destroy_splaytree(SplayTree tree);// 打印伸展树
void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);

2. 旋转

旋转的代码

/* * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。** 注意：*   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。*          将"键值为key的节点"旋转为根节点。*   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。*      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。*      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。*   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。*      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。*      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。*/
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)
{Node N, *l, *r, *c;if (tree == NULL) return tree;N.left = N.right = NULL;l = r = &N;for (;;){if (key < tree->key){if (tree->left == NULL)break;if (key < tree->left->key){c = tree->left;                           /* 01, rotate right */tree->left = c->right;c->right = tree;tree = c;if (tree->left == NULL) break;}r->left = tree;                               /* 02, link right */r = tree;tree = tree->left;}else if (key > tree->key){if (tree->right == NULL) break;if (key > tree->right->key) {c = tree->right;                          /* 03, rotate left */tree->right = c->left;c->left = tree;tree = c;if (tree->right == NULL) break;}l->right = tree;                              /* 04, link left */l = tree;tree = tree->right;}else{break;}}l->right = tree->left;                                /* 05, assemble */r->left = tree->right;tree->left = N.right;tree->right = N.left;return tree;
}

上面的代码的作用：将"键值为key的节点"旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：
(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
将"键值为key的节点"旋转为根节点。
(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
b-1) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
b-2) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
c-1) "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
c-2) "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，共包括"右旋" --> "右链接" --> "组合"这3步。

第一步：右旋
对应代码中的"rotate right"部分

第二步：右链接
对应代码中的"link right"部分

第三步：组合
对应代码中的"assemble"部分

提示：如果在上面的伸展树中查找"70"，则正好与"示例1"对称，而对应的操作则分别是"rotate left", "link left"和"assemble"。
其它的情况，例如"查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况"等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。

3. 插入

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/* * 将结点插入到伸展树中(不旋转)** 参数说明：*     tree 伸展树的根结点*     z 插入的结点* 返回值：*     根节点*/
static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)
{Node *y = NULL;Node *x = tree;// 查找z的插入位置while (x != NULL){y = x;if (z->key < x->key)x = x->left;else if (z->key > x->key)x = x->right;else{printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z->key);// 释放申请的节点，并返回tree。free(z);return tree;}}if (y==NULL)tree = z;else if (z->key < y->key)y->left = z;elsey->right = z;return tree;
}/** 创建并返回伸展树结点。** 参数说明：*     key 是键值。*     parent 是父结点。*     left 是左孩子。*     right 是右孩子。*/
static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)
{Node* p;if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)return NULL;p->key = key;p->left = left;p->right = right;return p;
}/* * 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点** 参数说明：*     tree 伸展树的根结点*     key 插入结点的键值* 返回值：*     根节点*/
Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{Node *z;    // 新建结点// 如果新建结点失败，则返回。if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)return tree;// 插入节点tree = splaytree_insert(tree, z);// 将节点(key)旋转为根节点tree = splaytree_splay(tree, key);
}

外部接口: insert_splaytree(tree, key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中；然后，将该节点旋转为根节点。

内部接口: splaytree_insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。splaytree_insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。

4. 删除

删除接口

/* * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。** 参数说明：*     tree 伸展树的根结点*     z 删除的结点* 返回值：*     根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)**/
Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{Node *x;if (tree == NULL) return NULL;// 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。if (splaytree_search(tree, key) == NULL)return tree;// 将key对应的节点旋转为根节点。tree = splaytree_splay(tree, key);if (tree->left != NULL){// 将"tree的前驱节点"旋转为根节点x = splaytree_splay(tree->left, key);// 移除tree节点x->right = tree->right;}elsex = tree->right;free(tree);return x;
}

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delete_splaytree(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。
它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。

注意：关于伸展树的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"销毁"等接口与"二叉查找树"基本一样，这些操作在"二叉查找树"中已经介绍过了，这里就不再单独介绍了。当然，后文给出的伸展树的完整源码中，有给出这些API的实现代码。这些接口很简单，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

伸展树的C实现(完整源码)

伸展树的头文件(splay_tree.h)

View Code

伸展树的实现文件(splay_tree.c)

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伸展树的测试程序(splaytree_test.c)

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伸展树的C测试程序

伸展树的测试程序运行结果如下：

== 依次添加: 10 50 40 30 20 60
== 前序遍历: 60 30 20 10 50 40
== 中序遍历: 10 20 30 40 50 60
== 后序遍历: 10 20 40 50 30 60
== 最小值: 10
== 最大值: 60
== 树的详细信息:
60 is root
30 is 60's   left child
20 is 30's   left child
10 is 20's   left child
50 is 30's  right child
40 is 50's   left child== 旋转节点(30)为根节点
== 树的详细信息:
30 is root
20 is 30's   left child
10 is 20's   left child
60 is 30's  right child
50 is 60's   left child
40 is 50's   left child

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测试程序的主要流程是：新建伸展树，然后向伸展树中依次插入10,50,40,30,20,60。插入完毕这些数据之后，伸展树的节点是60；此时，再旋转节点，使得30成为根节点。
依次插入10,50,40,30,20,60示意图如下：

将30旋转为根节点的示意图如下：