在从1到n的正数中1出现的次数

题目：输入一个整数 n ，求从 1 到 n 这 n 个整数的十进制表示中 1 出现的次数。例如输入 12 ，从 1 到 12 这些整数中包含 1 的数字有 1 ， 10 ， 11 和 12 ，1 一共出现了5 次。

分析：

我们曾遇到过求给定数num的二进制表示中1出现的次数，但此题是求十进制数中1出现的次数。简单的来想，可以用除法、取余来求的一个数中1的个数，然后再从1到n循环即可解决。但当n比较大时，速度会比较慢。我们现在来尝试从另一种思路来寻求一种更高效的方法。

我们可以换一种思路，分别求每位出现1的次数，然后再将每位出现1的次数相加即是所求。不妨假设要求的数是abcde(a>0)，一般地，我们求第3位，也就是百位数字出现1的次数，可分为如下三种情况：

(1)，当c=0 时，则该位出现1的数分析如下：

00100--00199

01100--01199

02100--02199

……

0b100--0b199

上面一共是b*100，对于a，我们进行类似的分析，从0b200到0(b+1)099的数字中，百位数字是不会出现1的：

0(b+1)100--0(b+1)199

0(b+2)100--0(b+2)199

……

0(b+9)100--0(b+9)199

0(b+10)100--0(b+10)199即1b199

从0b200到1b199，共有10*(b*100)个百位数字为1的数字。那么类似的可以知道，从1b200到2b199同样有10*b*100个百位数字为1的数字。依次类推，从2b200到3b199，……，(a-2)b200到(a-1)b199，由于c=0，因此百位出现1的最大的数字应该为a(b-1)199；那么一共有多少个这样的数据段呢？应该比较容易看出来，一共有a个。由此可以看出当c=0时，低位数字是不影响本位数字为1的数字的个数的。

由以上分析可知，百位数字为1的数字共有a*10*100+b*100=ab*100个；

(2)，当c=1时，则该位出现1的数分析如下：

在(1)情况分析的基础上，因为c=1，所以从a(b-1)200到ab1de中，仍有百位数字为1的数字存在，且比较容易知道一共有de+1个：即从ab100一直到ab1de，由此可以发现，此时低位数字影响了本位数字为1的数字的个数。

所以，此种情况，百位数字为1的数字共有：ab*100+de+1

(3)，当c>1时，则该位出现1的数分析如下：

仍然在(1)分析的基础上，因为c>1，所以从a(b-1)200到ab199（因为c>1，所以abcde>ab199，而ab200到abcde中百位数字是不会出现1的）中，仍有1*100个百位数字为1的数字，在此情况下，我们同样可以发现，此时低位数字又不影响本位数字为1的数字的个数了。

所以，此种情况，百位数字为1的数字共有：ab*100+1*100=(ab+1)*100.

分析到这里，我想就应该比较容易写出程序了吧^_^

转载于:https://blog.51cto.com/10622551/1694395

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