一维卷积详细解释(转载+自己笔记)

一、定义

离散信号f(n),g(n)的定义如下：

$s(n)=(f*g)[n]=\sum_{m=0}^{N-1}f(m)g(n-m)$

N-----为信号f(n)的长度

s(n)----为卷积结果序列,长度为len(f(n))+len(g(n))-1

以3个元素的信号为例：

f(n) = [1 2 3]; g(n) = [2 3 1];

s(0) = f(0)g(0-0) + f(1)g(0-1)+f(2)g(0-2) = 1*2 + 2*0 + 3*0 =2

s(1) = f(0)g(1-0) + f(1)g(1-1) + f(2)g(1-2) = 1*3 + 2*2 + 3*0 = 7

s(2) = f(0)g(2-0) + f(1)g(2-1) + f(2)g(2-2) =1*1 + 2*3 + 3*2=13

s(3) = f(0)g(3-0) + f(1)g(3-1) + f(2)g(3-2) =1*0 + 2*1 + 3*3=11

s(4) = f(0)g(4-0) + f(1)g(4-1) + f(2)g(4-2) =1*0 + 2*0 + 3*1=3

最终结果为:

s(n) = [2 7 13 11 3]

上述计算图示如下：

在数学里我们知道f(-x)的图像是f(x)对y轴的反转

g(-m)就是把g(m)的序列反转，g(n-m)的意义是把g(-m)平移的n点：

注意，上图中，紫色方框部分对应上面计算的五个值，没有上下重叠的部分，手动补零。

如上图g(m)在信号处理中通常叫做滤波器或掩码，卷积相当于掩码g(m)反转后在信号f(n)上平移求和。Matlab计算卷积的函数为conv,

python代码验证如下:

import numpy as np
x=np.array([1,2,3])
h=np.array([2,3,1])
import scipy.signal
scipy.signal.convolve(x,h)
print scipy.signal.convolve(x,h)

运行结果为:

[ 2 7 13 11 3]

注意:

f序列和g序列的长度不需要一致.

$f*g=g*f$ ,也就是说,卷积运算时可以交换顺序

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