【BZOJ2004】[Hnoi2010]Bus 公交线路

Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距离均为1km。作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：

1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和终点站也算被经过）。

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。

N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【样例说明】

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5)

P<=10 , K <=8

题解：看到P和K很小想到状压。用f[i][S]表示已经覆盖了前i个车站，每个车的位置的状态为S的方案数（S只包含前P个车站）。

由于n很大，考虑矩乘优化。我们将没有用的状态扔掉，最终矩阵大小是不超过$C_{10}^5\times C_{10}^5=252\times 252$的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int P=30031;
int n,m,k,tot;
struct M
{int v[260][260];M () {memset(v,0,sizeof(v));}int * operator [] (int a) {return v[a];}M operator * (const M &a) const{M b;int i,j,k;for(i=1;i<=tot;i++)  for(j=1;j<=tot;j++)  for(k=1;k<=tot;k++)  b.v[i][j]=(b.v[i][j]+v[i][k]*a.v[k][j])%P;return b;}
}S,T;
int r[1<<10],cnt[1<<10];
inline void pm(int y)
{while(y){if(y&1)   S=S*T;T=T*T,y>>=1;}
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);int i,j;for(i=1;i<(1<<m);i++){cnt[i]=cnt[i-(i&-i)]+1;if(cnt[i]==k)  r[i]=++tot;}for(i=1;i<(1<<m);i++)    if(r[i]){if(i&1)    T[r[i]][r[(i>>1)|(1<<(m-1))]]++;else  for(j=0;j<m;j++)  if((i>>j)&1)  T[r[i]][r[((i^(1<<j))>>1)|(1<<(m-1))]]++;}S[1][r[((1<<k)-1)<<(m-k)]]=1;pm(n-k);printf("%d",S[1][r[((1<<k)-1)<<(m-k)]]);return 0;
}

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