前言

梯度和辛普森是经典的几何求积分方法，简单易懂，那如果要更加高档（复杂难懂）的求积分方法找哪家了？高斯-勒让德积分当仁不让。举例来说，下面这个公式看着很高档，但真的要用C来实现还真的有些令人头痛。
A=12∫v∞e−ttdt\begin{aligned} A=\frac{1}{2}\int_{v}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t} {\rm d}t \end{aligned} A=21∫v∞te−tdt

高斯-勒让德积分

关于勒让德复杂的表征方法暂时不想多做分析学习，暂且记住勒让德多项式Pl(x)，l∈(0,1,...)P_l(x)，l\in(0,1,...)Pl(x)，l∈(0,1,...)为本征函数族，正交和完备性可以令其作为广义傅里叶级数的基，即假设函数f(x)f(x)f(x)定义在区间(−1,1)(-1,1)(−1,1)上，则：f(x)=∑l=0∞flPl(x)f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}f_lP_l(x) f(x)=l=0∑∞flPl(x)系数flf_lfl为fl=2l+12∫−11f(x)Pl(x)dxf_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)P_l(x)dx fl=22l+1∫−11f(x)Pl(x)dx
而勒让德多项式的微分表征：Pn(x)=12nn!dndxn(x2−1)nP_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n Pn(x)=2nn!1dxndn(x2−1)n
看着有点晕，如果展开不同阶数nnn的多项式，可能会直观一些【5】

另外【5】还将5阶的多项式画在同一个图上，虽然看不懂，但也挺震撼。

高斯积分（Gaussion Quadrature）公式如下：
∫−11f(x)dx≈∑i=1nwif(xi)\int_{-1}^{1}f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_if(x_i)∫−11f(x)dx≈i=1∑nwif(xi)
即选择一定的插值点和插值权重去逼近积分值。高斯勒让德给出的权重值为【7】
wi=2(1−x2)[Pn′(xi)]2w_i=\frac{2}{(1-x^2)[P_n^\prime(x_i)]^2}wi=(1−x2)[Pn′(xi)]22
而对应的插值点和低阶权重值已经被算好，可以直接拿来用。

一般积分区间的归一化

翻译一下wiki的公式：
∫abf(x)dx=∫−11f(b−a2ξ+a+b2)dxdξdξ≈b−a2∑i=1nwif(b−a2ξ+a+b2),dxdξ=b−a2\int_a^bf(x)dx = \int_{-1}^{1}f(\frac{b-a}{2}\xi+\frac{a+b}{2})\frac{dx}{d\xi}d\xi\\ \approx\frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^nw_if(\frac{b-a}{2}\xi+\frac{a+b}{2}),\ \frac{dx}{d\xi}=\frac{b-a}{2} ∫abf(x)dx=∫−11f(2b−aξ+2a+b)dξdxdξ≈2b−ai=1∑nwif(2b−aξ+2a+b), dξdx=2b−a

Exponential Integral

文章开头的指数积分，也有比较成熟的计算方法：E1(z)=∫z∞e−ttdt=−γ−lnz−∑k=1∞(−z)kkk!E_1(z)=\int_z^\infty\frac{e^{-t}}{t}dt=-\gamma-ln\ z-\sum_{k=1}^\infty\frac{(-z)^k}{kk!}E1(z)=∫z∞te−tdt=−γ−ln z−k=1∑∞kk!(−z)k
更通用的表达，定义Ein(z)=∫0z(1−e−t)dtt=∑k=1∞(−1)k+1zkkk!Ein(z)=\int_0^z(1-e^{-t})\frac{dt}{t}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}z^k}{kk!} Ein(z)=∫0z(1−e−t)tdt=k=1∑∞kk!(−1)k+1zk
那么E1(z)=−γ−lnz+Ein(z)E_1(z)=-\gamma-ln\ z+Ein(z)E1(z)=−γ−ln z+Ein(z)
第一个参数叫做欧拉常数，从wiki上抄写推导：γ=lim⁡n→∞(−logn+∑k=1n1k)≈0.577215664901532860606512\gamma=\lim_{n \to \infty}(-log\ n +\sum_{k=1}^n\frac{1}{k})\approx0.577215664901532860606512 γ=n→∞lim(−log n+k=1∑nk1)≈0.577215664901532860606512

实验

最后用【10】里提供的算法，计算−E1(z)-E_1(z)−E1(z)的几个积分值：

x=0.05    Ei(x)=-2.4678985
x=0.25    Ei(x)=-1.0442826
x=0.45    Ei(x)=-0.6253313
x=0.65    Ei(x)=-0.4115170
x=0.85    Ei(x)=-0.2840193
x=1.05    Ei(x)=-0.2018728
x=1.25    Ei(x)=-0.1464134
x=1.45    Ei(x)=-0.1077774
x=1.65    Ei(x)=-0.0802476
x=1.85    Ei(x)=-0.0602950

利用python的scipy.specials 库exp1计算的E1(z)E_1(z)E1(z)对应值：

>>> exp1(0.05)   2.467898488509974
>>> exp1(0.25)   1.0442826344437384
>>> exp1(0.45)   0.6253313163232692
>>> exp1(0.65)   0.41151697594947967
>>> exp1(0.85)   0.28401926850246173
>>> exp1(1.05)   0.2018728132201966
>>> exp1(1.25)   0.14641337252591016
>>> exp1(1.45)   0.10777743986897659
>>> exp1(1.65)   0.08024762667334323
>>> exp1(1.85)   0.06029496682837346

参考

1.勒让德多项式及性质
2.高斯-勒让德数值积分公式
3.高斯-勒让德求积公式及Matlab实现
4.高斯积分
5.Legendre polynomials from wikipedia
6.6.2(i) Exponential and Logarithmic Integrals
7.Legendre-Gauss Quadrature
8.Exponential Integral from mathworld
9.Exponential integral from wikepedia
10.常用算法程序集(C语言描述)第三版

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高斯-勒让德积分学习

高斯-勒让德积分求解函数积分

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