电机控制系列文章

感应（异步）电机磁场定向控制MATLAB/Simulink建模
感应（异步）电机磁场定向控制速度环PI控制参数设计

前言

大家在做感应（异步）电机磁场定向控制（FOC）的时候，是否还在疑惑PI参数怎么给，还在用PI参数整定口诀一点一点去试，或者按书籍论文的计算公式搞出来不对？那你的电机控制理论需要进一步深入了，如果按照书籍论文的计算公式算出来不能用，你可以来这里看看你的MATLAB/Simulink建模有没有问题：
感应（异步）电机磁场定向控制MATLAB/Simulink建模。
如果是不知道PI参数怎么给，我来指导你设计合适的PI参数。
事实上TI（德州仪器）早就把这些东西工程化了，《InstaSPIN-FOC™ and InstaSPIN-MOTION™ User’s Guide》里有详细的指导，本人也是从其中窥得PI参数设计大法。如果你看过这个文档，没关系，也可以看看我写的，其中也有我个人的理解。
本文首先介绍电流环的PI参数设计。

一、并联型PI与串联型PI

下图是并联型PI：

下图是串联型PI：

我们搞控制的，一般都接触的是并联型PI吧。可是TI在InstaSPIN-FOC™里推崇用串联型PI。TI说，并联型PI，KiK_{\text i}Ki负责低频增益，KpK_{\text p}Kp负责高频增益。把并联型PI传递函数的s换成jω，ω较小时，第二项起主要作用。ω较大时，第一项起主要作用。这里也可以这样理解，调KiK_{\text i}Ki不就是调静差吗，静差不就是低频吗，调KpK_{\text p}Kp不就是调响应快慢吗，响应快慢不就是高频吗。
Gparallel_PI(jω)=Kp+KijωG_{\text{parallel\_PI}}(j\omega) = K_{\text p} + \frac {K_{\text i}} {j\omega} Gparallel_PI(jω)=Kp+jωKi

串联型PI里，KpseriesK_{\text p}^{\text{series}}Kpseries负责全频域增益，而KiseriesK_{\text i}^{\text{series}}Kiseries只负责零点位置。
Gseries_PI(jω)=Kpseries(1+Kiseriesjω)G_{\text{series\_PI}}(j\omega) = K_{\text p}^{\text{series}} (1+ \frac {K_{\text i}^{\text{series}}} {j\omega}) Gseries_PI(jω)=Kpseries(1+jωKiseries)

说到这里，用哪一种并不重要，只是串联型PI在接下来的分析中比较方便，如果你习惯用并联型PI，就把系数转换一下。你用并联型PI去设计参数也是没有问题的。
但是，这里我有一个想法，之前习惯用并联型PI去调控制，一般是一个不动调另一个。借助串联型PI，调并联型PI的思路可以是这样，调整KpK_{\text p}Kp和KiK_{\text i}Ki的比例，使响应曲线形态比较好（比如一阶系统的阶跃响应），然后同时等比例增大或减小KpK_{\text p}Kp和KiK_{\text i}Ki，调整响应快慢。

二、被控对象模型

电流环输出电压控制电机，电机输出电流反馈回电流环。从定子侧看，电流环对应的电机模型可简化为

R为电阻（对感应电机q轴，不是定子电阻），L为电感（对感应电机，既不是漏感也不是自感），ωKE\omega K_{\text E}ωKE为反电动势，反电动势主要由电机转速、磁链影响，而相较于电机电流，电机转速、磁链变化较慢，可认为是直流量，因此电机定子小信号模型传递函数为
Gmotor(s)=I(s)V(s)=1R1+LRsG_{\text{motor}}(s) = \frac {I(s)} {V(s)} = \frac {\frac 1 R} {1+{\frac L R} s} Gmotor(s)=V(s)I(s)=1+RLsR1
对应感应电机电压方程，如下式，简化模型中的L是σLs\sigma L_{\text s}σLs，d轴中R是RsR_{\text s}Rs，q轴中R是Rs+Lm2Lr2RrR_{\text s} + \frac {L_{\text m}^2} {L_{\text r}^2}R_{\text r}Rs+Lr2Lm2Rr，TI文件中说是Rs+RrR_{\text s} + R_{\text r}Rs+Rr，应该是LmL_{\text m}Lm与LrL_{\text r}Lr很接近。后面的分析中仍然用R和L来表示。
{usd=Rsisd+σLsdisddt−ωsσLsisq+LmLrdψrddtusq=(Rs+Lm2Lr2Rr)isq+σLsdisqdt+ωsσLsisd+ωrLmLrψrd\begin{cases} u_{\text {sd}} = R_{\text s}i_{\text {sd}} + \sigma L_{\text s}\frac {di_{\text {sd}}} {dt} - \omega_{\text {s}}\sigma L_{\text s}i_{\text {sq}} + \frac {L_{\text m}} {L_{\text r}}\frac {d\psi_{\text {rd}}} {dt} \\ u_{\text {sq}} = (R_{\text s} + \frac {L_{\text m}^2} {L_{\text r}^2}R_{\text r})i_{\text {sq}} + \sigma L_{\text s}\frac {di_{\text {sq}}} {dt} + \omega_{\text {s}}\sigma L_{\text s}i_{\text {sd}} + \omega_{\text {r}}\frac {L_{\text m}} {L_{\text r}}\psi_{\text {rd}} \end{cases} {usd=Rsisd+σLsdtdisd−ωsσLsisq+LrLmdtdψrdusq=(Rs+Lr2Lm2Rr)isq+σLsdtdisq+ωsσLsisd+ωrLrLmψrd

三、电流环闭环传递函数

还是用电机简化模型的传递函数，暂不考虑电流滤波器、计算延时、PWM采样延时，电流环闭环传递函数表示为下式
Gcurr_cl(s)=KpseriesKiseries(1+sKiseries)s×1R1+LRs1+KpseriesKiseries(1+sKiseries)s×1R1+LRsG_{\text{curr\_cl}}(s) = \frac {\frac {K_{\text p}^{\text{series}} K_{\text i}^{\text{series}} (1+\frac s {K_{\text i}^{\text{series}}})} s \times \frac {\frac 1 R} {1+{\frac L R} s}} {1+\frac {K_{\text p}^{\text{series}} K_{\text i}^{\text{series}} (1 + \frac s {K_{\text i}^{\text{series}}})} s \times \frac {\frac 1 R} {1+{\frac L R} s}} Gcurr_cl(s)=1+sKpseriesKiseries(1+Kiseriess)×1+RLsR1sKpseriesKiseries(1+Kiseriess)×1+RLsR1
整理一下
Gcurr_cl(s)=1+sKiseriesLKpseriesKiseriess2+(RKpseriesKiseries+1Kiseries)s+1G_{\text{curr\_cl}}(s) = \frac {1+\frac s {K_{\text i}^{\text{series}}}} {\frac L {K_{\text p}^{\text{series}} K_{\text i}^{\text{series}}}s^2 + (\frac R {K_{\text p}^{\text{series}} K_{\text i}^{\text{series}}}+\frac 1 {K_{\text i}^{\text{series}}})s + 1} Gcurr_cl(s)=KpseriesKiseriesLs2+(KpseriesKiseriesR+Kiseries1)s+11+Kiseriess
可以看出这是一个二阶系统，分子上有一个零点，分母有两个极点，最好零极对消，只剩一个极点，就变成了一个一阶系统。为什么要变为一阶系统呢？很多地方都要提降阶，降阶使系统变得更简单，更方便分析性能，更容易设计控制系统。一阶系统没有超调，只用调整一个参数就可以改变阶跃响应时间。
一阶系统的单位阶跃响应如下图所示

四、电流环PI参数设计

为了零极对消，分母应该做如下因式分解，
Gcurr_cl(s)=1+sKiseries(1+RKpseriesKiseriess)(1+sKiseries)G_{\text{curr\_cl}}(s) = \frac {1+\frac s {K_{\text i}^{\text{series}}}} {(1+\frac R {K_{\text p}^{\text{series}} K_{\text i}^{\text{series}}}s) (1+\frac s {K_{\text i}^{\text{series}}})} Gcurr_cl(s)=(1+KpseriesKiseriesRs)(1+Kiseriess)1+Kiseriess
这个式子可以零极对消，但和之前的式子相比，有个问题，分母s2s^2s2的系数不一样，那就令他们一样，
LKpseriesKiseries=RKpseries(Kiseries)2\frac L {K_{\text p}^{\text{series}} K_{\text i}^{\text{series}}} = \frac R {K_{\text p}^{\text{series}} (K_{\text i}^{\text{series}})^2} KpseriesKiseriesL=Kpseries(Kiseries)2R
解得
Kiseries=RLK_{\text i}^{\text{series}} = \frac R L Kiseries=LR
将该结果代入闭环传函，得
Gcurr_cl(s)=1LKpseriess+1G_{\text{curr\_cl}}(s) = \frac 1 {\frac L {K_{\text p}^{\text{series}}}s+1} Gcurr_cl(s)=KpseriesLs+11
这下就很简单了，将KpseriesK_{\text p}^{\text{series}}Kpseries设计为
Kpseries=L×ωbK_{\text p}^{\text{series}} = L \times \omega_{\text b} Kpseries=L×ωb
传函变为
Gcurr_cl(s)=1sωb+1G_{\text{curr\_cl}}(s) = \frac 1 {\frac s {\omega_{\text b}}+1} Gcurr_cl(s)=ωbs+11
ωb\omega_{\text b}ωb为一阶系统的带宽。这意味着我们可以自由设计电流环的带宽了！也就是像之前说的，我们可以调节电流环的阶跃响应时间，而且没有超调！

五、计算延时、PWM采样延时、滤波器的影响

本文的关键来了，前面所述均是在理想情况下的推算，实际上在一个电机控制系统里，DSP计算需要时间，不可避免地就引入了计算延时。PWM采样也会产生延时。而滤波器对dq电流也有延时作用。下面分别来分析。

1、计算延时

计算延时的关键在于计算出来的调制波什么时候送到PWM的比较模块。举个例子，一个DSP电机控制系统，在PWM载波波峰处触发PWM中断开始AD采样、控制计算，PWM模块配置为波峰处将调制波载入比较器，那么这个时候只能在下个波峰到来时载入此时计算出来的调制波。从PWM中断开始算起，到下一个载波波峰到来就是一个开关周期，即因为计算延迟了一个开关周期。
延迟环节的传递函数为e−Tse^{-Ts}e−Ts，一般将它等效为一个一阶惯性环节1Ts+1\frac 1 {Ts+1}Ts+11。以延迟200us为例，二者波特图如下所示，蓝色为延迟环节，红色为一阶惯性环节，在低频段，二者非常接近，所以这种近似是可以的。

2、PWM采样延时

一般的DSP电机控制系统，都是规则采样，也就是对调制波周期采样。比如在载波波峰处将调制波载入比较器，那么只有在波峰处才进行了更新，其他时间都是保持更新后的值，表现为一个零阶保持器。举个例子，如下是开关频率5kHz的PWM规则采样，在载波波峰处将调制波载入比较器，蓝色为原始调制波，红色是经零阶保持的实际调制波，是一个阶梯波，而它的基波幅值与原始调制波一样，但时间上延迟了半个开关周期，如紫色虚线所示。

零阶保持器的传递函数为1−e−TsTs\frac {1-e^{-Ts}} {Ts}Ts1−e−Ts，T为采样周期，基波则延迟了0.5T，由前面所述的延迟环节等效关系，零阶保持器可等效为10.5Ts+1\frac 1 {0.5Ts+1}0.5Ts+11的一阶惯性环节。下图为二者波特图对比，蓝色为零阶保持器，红色为一阶惯性环节，可以看到，二者在低频非常接近，因此这种等效也是可以的。

结合计算延时和PWM采样延时，传递函数为1(Ts+1)(0.5Ts+1)=10.5T2s2+1.5Ts+1\frac 1 {(Ts+1)(0.5Ts+1)} = \frac 1 {0.5T^2s^2+1.5Ts+1}(Ts+1)(0.5Ts+1)1=0.5T2s2+1.5Ts+11，忽略高阶项，传递函数变为11.5Ts+1\frac 1 {1.5Ts+1}1.5Ts+11，这就是很多书里面出现1.5的原因。忽略高阶项在控制里面很常见，比如非线性系统的线性化，很多都是忽略高阶项。

3、滤波器

很多电机控制系统里，对dq电流做了低通滤波，常见的就是一阶、二阶低通滤波。
一阶低通滤波的传递函数为1Ts+1\frac 1 {Ts+1}Ts+11，可以直接当成一个延迟环节。
二阶低通滤波的传递函数为ωn2s2+2ζωns+ωn2=11ωn2s2+2ζωns+1\frac {\omega_{\text n}^2} {s^2+2\zeta\omega_{\text n}s+\omega_{\text n}^2} = \frac 1 {\frac 1 {\omega_{\text n}^2}s^2+\frac {2\zeta} {\omega_{\text n}}s+1}s2+2ζωns+ωn2ωn2=ωn21s2+ωn2ζs+11，大胆一点，干掉高阶项，也变成一个延迟环节12ζωns+1\frac 1 {\frac {2\zeta} {\omega_{\text n}}s+1}ωn2ζs+11。

4、三者结合

至此，我们把控制延时、PWM采样延时、滤波器都等效为一阶惯性环节，三者再结合一下，传递函数变为1(Td_cal+Td_pwm+Td_filter)s+1\frac 1 {(T_{\text {d\_cal}}+T_{\text {d\_pwm}}+T_{\text {d\_filter}})s+1}(Td_cal+Td_pwm+Td_filter)s+11。如果开关频率为5kHz，一阶低通滤波器截至频率选为2kHz，那么Td_calT_{\text {d\_cal}}Td_cal为200us，Td_pwmT_{\text {d\_pwm}}Td_pwm为100us，Td_filterT_{\text {d\_filter}}Td_filter为80us，数量级相近。

5、影响

一个时间常数为100us的一阶惯性环节波特图如下所示，如果电流环开环穿越频率为1000rad/s，那么从图上可知，一阶惯性环节造成-6°的相移，也即相位裕度减小6°，这对于控制来说影响不大。如果电流环开环穿越频率为转折频率10000rad/s，相位裕度减小45°，这个影响就大了。
开环的穿越频率与闭环的带宽频率比较接近，因此，在设计电流环闭环带宽时，带宽频率应小于一阶惯性环节的转折频率。小多少要看你对系统的要求，太小响应会变慢，大了系统会变得敏感，因此要根据具体性能要求来决定。

总结

本文介绍了感应（异步）电机磁场定向控制电流环PI控制参数设计，主要内容从《InstaSPIN-FOC™ and InstaSPIN-MOTION™ User’s Guide》中提取，同时包含我个人的理解，以期这篇文章能帮助大家设计电流环PI参数。

如果懒得搭模型，可以来这里下载
感应（异步）电机间接磁场定向控制MATLAB/Simulink仿真模型

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