EE214 Lecture 14： Differential pair部分公式推导

今天和初二的妹妹讨论了一个问题：学数学到底有什么用？正好当时在推导一些公式，里面用到的都是初中学过的知识，就把推导过程给她说了一遍，这里也是记录一下这样的整个过程。
首先是差分信号的基本概念：

首先是差模信号和共模信号的概念：
差模信号：
Vid=Vip−VimV_{id}=V_{ip}-V_{im}Vid=Vip−Vim
共模信号：
Vic=12(Vip−Vim)V_{ic}=\frac{1}{2}(V_{ip}-V_{im})Vic=21(Vip−Vim)

大信号传输方程为：
Vip−Vgs1=Vim−Vgs2(1)V_{ip}-V_{gs1}=V_{im}-V_{gs2} \tag{1} Vip−Vgs1=Vim−Vgs2(1)
Iod=Iod1+Iod2(2)I_{od}=I_{od1}+I_{od2} \tag{2} Iod=Iod1+Iod2(2)

Vgs1=Vt+2Iod1μCoxWL(3)V_{gs1}=V_{t}+\sqrt{\frac{2I_{od1}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}} \tag{3} Vgs1=Vt+μCoxLW2Iod1(3)

Vgs2=Vt+2Iod2μCoxWL(4)V_{gs2}=V_{t}+\sqrt{\frac{2I_{od2}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}} \tag{4} Vgs2=Vt+μCoxLW2Iod2(4)

证明：
Iod=Iod1−Iod2=12μCoxWLVid4ITAILμCoxWL−Vid2(5)I_{od}=I_{od1}-I_{od2}={\frac{1}{2}}{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}{V_{id}}{\sqrt{\frac{4I_{TAIL}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}-{V_{id}^{2}}}} \tag{5} Iod=Iod1−Iod2=21μCoxLWVidμCoxLW4ITAIL−Vid2(5)
其中：
Vid=Vip−Vim(6)V_{id}=V_{ip}-V_{im} \tag{6} Vid=Vip−Vim(6)
证明如下：
将(6)式(1)式联立得：

Vid=Vip−Vim=Vgs1−Vgs2=2Iod1μCoxWL−2Iod2μCoxWL(7)V_{id}=V_{ip}-V_{im}=V_{gs1}-V_{gs2}=\sqrt{\frac{2I_{od1}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}}-\sqrt{\frac{2I_{od2}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}} \tag{7} Vid=Vip−Vim=Vgs1−Vgs2=μCoxLW2Iod1−μCoxLW2Iod2(7)
平方化简得：
Vid2=2(Iod1+Iod2)μCoxWL−4Iod1Iod2μCoxWL(8)V_{id}^{2}={\frac{2(I_{od1}+I_{od2})}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}}-{\frac{4\sqrt{I_{od1}I_{od2}}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}} \tag{8} Vid2=μCoxLW2(Iod1+Iod2)−μCoxLW4Iod1Iod2(8)
Vid2=2ITAILμCoxWL−4Iod1Iod2μCoxWL(9)V_{id}^{2}={\frac{2I_{TAIL}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}}-{\frac{4\sqrt{I_{od1}I_{od2}}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}} \tag{9} Vid2=μCoxLW2ITAIL−μCoxLW4Iod1Iod2(9)
整理得：
4Iod1Iod2=2ITAIL−μCoxWLVid2(10)4\sqrt{I_{od1}I_{od2}}=2I_{TAIL}-{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}{V_{id}^{2}} \tag{10} 4Iod1Iod2=2ITAIL−μCoxLWVid2(10)
即：
2Iod1Iod2=ITAIL−12μCoxWLVid2(11)2\sqrt{I_{od1}I_{od2}}=I_{TAIL}-\frac{1}{2}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}{V_{id}^{2}} \tag{11} 2Iod1Iod2=ITAIL−21μCoxLWVid2(11)

同时，由已知ITAILI_{TAIL}ITAIL和IodI_{od}Iod公式可得：
ITAIL2=(Iod1+Iod2)2=Iod12+Iod22+2Iod1Iod2(12)I_{TAIL}^{2}=(I_{od1}+I_{od2})^{2}=I_{od1}^{2}+I_{od2}^{2}+2I_{od1}I_{od2} \tag{12} ITAIL2=(Iod1+Iod2)2=Iod12+Iod22+2Iod1Iod2(12)
Iod2=(Iod1+Iod2)2=Iod12+Iod22−2Iod1Iod2(13)I_{od}^{2}=(I_{od1}+I_{od2})^{2}=I_{od1}^{2}+I_{od2}^{2}-2I_{od1}I_{od2} \tag{13} Iod2=(Iod1+Iod2)2=Iod12+Iod22−2Iod1Iod2(13)
由式(8)式(9)做差得：
ITAIL2−Iod2=4Iod1Iod2(14)I_{TAIL}^{2}-I_{od}^{2}=4I_{od1}I_{od2} \tag{14} ITAIL2−Iod2=4Iod1Iod2(14)
将式(7)代入式(10)得：
ITAIL2−Iod2=(2Iod1Iod2)2=(ITAIL−12μCoxWLVid2)2(15)I_{TAIL}^{2}-I_{od}^{2}=(2\sqrt{I_{od1}I_{od2}})^{2}=(I_{TAIL}-\frac{1}{2}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}{V_{id}^{2}})^{2} \tag{15} ITAIL2−Iod2=(2Iod1Iod2)2=(ITAIL−21μCoxLWVid2)2(15)
展开化简得：
ITAIL2−Iod2=ITAIL2+(12μCoxWLVid2)2−ITAILμCoxWLVid2(16)I_{TAIL}^{2}-I_{od}^{2}=I_{TAIL}^{2}+(\frac{1}{2}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}{V_{id}^{2}})^{2}-I_{TAIL}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}{V_{id}^{2}} \tag{16} ITAIL2−Iod2=ITAIL2+(21μCoxLWVid2)2−ITAILμCoxLWVid2(16)
Iod2=ITAILμCoxWLVid2−(12μCoxWLVid2)2(17)I_{od}^{2}=I_{TAIL}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}{V_{id}^{2}}-(\frac{1}{2}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}{V_{id}^{2}})^{2} \tag{17} Iod2=ITAILμCoxLWVid2−(21μCoxLWVid2)2(17)
Iod2=(12μCoxWLVid)2(4ITAILμCoxWL−Vid2)(18)I_{od}^{2}=({\frac{1}{2}}{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}{V_{id}})^{2}({\frac{4I_{TAIL}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}-{V_{id}^{2}}}) \tag{18} Iod2=(21μCoxLWVid)2(μCoxLW4ITAIL−Vid2)(18)
两边同时开平方，由于IodI_{od}Iod的非负性可得：
Iod=12μCoxWLVid4ITAILμCoxWL−Vid2(19)I_{od}={\frac{1}{2}}{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}{V_{id}}{\sqrt{\frac{4I_{TAIL}}{{\mu}C_{ox}{\frac{W}{L}}}-{V_{id}^{2}}}} \tag{19} Iod=21μCoxLWVidμCoxLW4ITAIL−Vid2(19)
推导完成，和书中箭头部分给出的结论是一致的。
推导的过程用的大多是初中知识，但是化简的思想和计算能力很重要。在理工科的日常学习学习中，经常会用到数学工具来进行公式推导，数据分析以及系统建模等等。所以说，学好数学很有用而且很有必要！
这是我在CSDN上发的第一篇博客，整体来说用的不是很熟，希望能够尽快地融入到这个大家庭中来。

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