一、

模运算

当答案或者运算过程中数据太大，题目要求输出答案对某个大数据取模，
有以下结论：

(a+b)%MOD=(a%MOD+b%MOD)%MOD
(a-b)%MOD=(a%MOD-b%MOD)%MOD
(a*b)%MOD=(a%MOD*b%MOD)%MOD
而除法取模需要逆元，后面会介绍

c++语言取模过程中，会遵循商尽量大的原则，所以(-5)%3=-2
这个不符合数学上取模的标准，因此使用c++对减法取模应该写成：

(a-b+MOD)%MOD

二、质数

1～n当中，大约有nln(n)\frac{n}{ln(n)}ln(n)n个质数

1、质数筛

埃氏筛
复杂度为O(nlg(lg(n)))

const int maxn=1e6;
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
int cnt=0;
void Prime(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;for(int j=i*i;j<=n;j+=i){vis[j]=true;}}}
}

//此处有个小优化，嵌套的循环内jjj从 i∗ii * ii∗i 开始，而不是i+ii + ii+i开始，因为i∗(2−>i−1)i*(2 ->i-1)i∗(2−>i−1)在这之前都已经被筛去。

欧拉筛
复杂度O(n)

const int maxn=1e6;
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
int cnt=0;
void Prime(int n){for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;}for(int j=1;prime[j]*i<=n;j++){vis[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0){//保证每个合数都用该数最小的质因子筛掉//当i%prime[j]==0的时候，说明如果j继续加一，被筛掉的数就不是用其最小的质因子筛去的了。break;}}}
}

2、质因数分解----试除法

任意正整数nnn最多有一个比sqrt(n)sqrt(n)sqrt(n)大的质因子，质因数分解模版如下：
(⁎⁍̴̛ᴗ⁍̴̛⁎)
质因数分解模版

int pdivid[10000];
int cnt=0;//记录一共有多少个质因子
void divid(int n){for(int i=2;i<=n/i;i++){if(n%i==0){//此处i一定为质数pdivid[++cnt]=i;int s=0;while(n%i==0){n/=i;s++;//可以计算每个质因子出现的次数，这份代码不记录这个数}}}if(n>1){pdivid[++cnt]=n;}
}
int main(){int n;cin>>n;divid(n);cout<<pdivid[cnt]<<endl;
}

三、约数

1、试除法

直接枚举从1~sqrt(n)所有的数字，可以得到n所有的约数。
每个数的约数个数期望为lg(n).

2、约数个数和约数之和

先对N进行质因数分解，假设分解后：
o(｀ω´ )o：：：：：

N==p1c1∗p2c2∗...∗pkckN== p_1^{c_1} * p_2^{c_2} * ... *p_k^{c_k}N==p1c1∗p2c2∗...∗pkck

（pi为质因子，ci为质因子对应的次数）

那么N的约数个数为：：
(c1+1)∗(c2+1)∗...∗(ck+1)(c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)(c1+1)∗(c2+1)∗...∗(ck+1)

N的约数之和为：：
(p10+p11+...+p1c1)∗...∗(pk0+pk1+...+pkck)(p_1^0 + p_1^1 + ... + p_1^{c_1}) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^{c_k})(p10+p11+...+p1c1)∗...∗(pk0+pk1+...+pkck)
（把上式子展开后，直接看出为计算每个约数的和）

const int mod=1e9+7;
int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int> primcnt;while(n--){int x;cin>>x;for(int i=2;i<=x/i;i++){while(x%i==0){x/=i;primcnt[i]++;}}if(x!=1){primcnt[x]++;}}ll ans=1;//遍历mapfor(auto prim:primcnt){ans=(ans*(prim.second+1))%mod;}cout<<ans<<endl;
}

3、最大公约数（gcd）

欧几里得算法

gcd(a,b)=gcd(b,agcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a

（好神奇啊！）ʕ •ᴥ•ʔ

int gcd(int a,int b){if(b==0){return a;}elsereturn gcd(b,a%b);
}

四、欧拉函数

1、定义
欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（比如φ(1)=1φ(1)=1φ(1)=1）

2、公式
φ(N)=N∗(1−1p1)∗.....∗(1−1pi)φ(N)=N*(1-\frac{1}{p_1}) * ..... * (1-\frac{1}{p_i})φ(N)=N∗(1−p11)∗.....∗(1−pi1)
其中pip_ipi为NNN的质因子。

3、筛法求1～n的欧拉函数

void get_eulers(int n){//得到1～n所有欧拉函数的值//其实是欧拉筛变体int cnt=0;phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;//如果这个数是个素数，显然在1～i之间，有i-1个数与其互质phi[i]=i-1;}for(int j=1;prim[j]*i<=n&&j<=cnt;j++){vis[i*prim[j]]=1;if(i%prim[j]==0){//如果prim[j]是i的因子//根据公式，phi[i]=i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)//i*prim[j]的所有因子跟i相同//phi[i*prim[i]]=prim[i]*i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)=phi[i]*prim[i]phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];break;}//如果prim[j]不是i的因子//那么i*prim[j]的因子与i相差一个prim[j]//phi[i*prim[i]]=phi[i]*prim[j]*(1-1/prim[j])=phi[i]*phi[prim[j]]phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);}}
}

欧拉定理

如果a与n互质，那么aphi(n)≡1(modn)a^{phi(n)}≡1(mod n)aphi(n)≡1(modn).

四、快速幂

ll my_pow(int a,int k,int p=1e9+7){ll res=1;while(k){if(k&1){//如果k不能整除2res=(res*a)%p;}k>>=1;a=(a*a)%p;//让底数平方}return res;
}

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