矩阵相关定义性质全总结

0.前言

矩阵是线性代数中的核心内容，所以我写这篇文章对矩阵（研究生以下阶段）进行一个完整的叙述。虽然是主要说矩阵，但是我也会将行列式、向量、线性方程组三个方面也包含在内，不过是概述的形式，具体的叙述会另外展开写。能够见到的大多数文章还是以对矩阵的介绍为主，我想可能很多人最需要的是了解矩阵的有哪些细分（比如矩阵相似、矩阵合同），以及这些细分的充要、必要、充分条件，还有这些细分的性质。所以我会在整体介绍完之后，进行一个细分的总结。
本文适合考研或在学线代者复习线性代数。
本文是总结，一些费时而又用处不大的图不会展示，见谅。

1.行列式、向量、线性方程组

将这三者写在最前面，我不会咋此进行展开，但是会另写文章叙述。
行列式、向量、线性方程组、特征值和特征向量
其中行列式是矩阵计算的基础，内容不难，但是涉及一些计算技巧。向量是构成线性方程组的重要部分，而我们都知道，矩阵最开始就是为了表示线性方程组的。

2.概念

定义：m×n矩阵为m×n个数排成的m行n列的表格，当m=n时，矩阵A称为n阶方阵或者n阶矩阵。
零矩阵：矩阵所有元素都为0。
同型矩阵：A矩阵为m×n矩阵，B矩阵为s×t矩阵，如果m=s,n=t，A和B即为同型矩阵。
A和B相等：两个同型矩阵对应的元素都相等
|A|（detA）:n阶方阵A构成的行列式。

#只有方阵才有行列式
#矩阵A是表格，而行列式|A|是数

3.运算

加法：两个同型矩阵可以相加
数乘：k为数，数乘时是将k与矩阵中每一个元素进行乘积
乘法：设A是一个m×s矩阵，B是一个s×t矩阵（A的列数=B的行数），则A、B可乘，且乘积AB是一个m×t矩阵，记为C。其中C的第i行、第j列元素Cij是A的第i行s个元素和B的第j列s个对应元素两两乘积之和。（每个新元素等于原来两个矩阵对应行元素逐个乘上对应列元素，再加和）
转置：将m×n型矩阵A=[a_ij]_m×n的行列互换的到的n×m矩阵[a_ji]_n×m，称为A的转置矩阵。
矩阵多项式：设A是n阶矩阵，f(x)=a_mx^m+……+a₁x+a₀是x的多项式，则称 a_mA^m+a_m-1A^m-1+……+a₁A+a₀E为矩阵多项式，记为f(A)

#性质：
Ⅰ.加法

A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
A+O=A (其中O是元素全为0的同型矩阵)
A+(-A)=O

Ⅱ.数乘

k(mA)=(km)A=m(kA)
(k+m)A=kA+mA
k(A+B)=kA+kB
1A=A
0A=O

Ⅲ.乘法

(AB)C=A(BC)
A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA（注意顺序不可以颠倒）

Ⅳ.转置

(A+B)^T=A^T+B^T
(kA)^T=kA^T
(AB)^T=B^TA^T
(A^T)^T=A

#注意：

AB≠BA
A≠O，B≠O，但有可能AB=O
AB=AC，A≠O不能推出B=C
(A+B)(A+B)=A²+AB+BA+B²
(A+E)²=A²+2A+E
(A+E)(A-E)=A²-E²
AB=O 可推出B的列向量是AX=0的解

4.伴随矩阵

A^*由矩阵A的行列式|A|的所有代数余子式构成，列对应行。
AA^* = A^*A=|A|E
(A^*) ^-1=(A^-1)^*=（1/A）A(|A|≠0)
(KA)*=k^n-1A^*
(A^*)^T=(A^T)^*
|A^*|=|A|^n-1
(A^*)^*=|A|^n-2A(n>=2)
A^-1=(1/|A|)*A^*
(AB)^*=B^*A^*

对于伴随矩阵的秩：

5.可逆矩阵

A、B为n阶矩阵，且AB=BA=E，当A为可逆矩阵或非奇异矩阵，
B是A的逆矩阵，A^-1=B
5.1定理：

A可逆，则A的逆矩阵唯一
A可逆<=>|A|≠0（A满秩）
设A和B是n阶矩阵，且AB=E,则BA=E,A^-1=B

5.2n阶矩阵A可逆的充分必要条件：

存在n阶矩阵B，使AB=E（BA=E）.
|A|≠0，或者A满秩，或者A的列（行）向量线性无关
齐次方程组Ax=0只有零解
任意b,非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解
矩阵A的特征值全不为0
能表示成一些初等矩阵的乘积：P_N…P₂P₁A=E

5.3运算性质：

k≠0，(kA)^-1=(1/k)A^-1
如果A,B可逆，则(AB)^-1=B^-1A^-1，特别地(A²)^-1=(A^-1)²
A^T可逆，则（A^T)^-1=(A^-1)^T
(A^-1)^-1=A
|A^-1|=1/|A|

#即使A,B和A+B都可逆，一般的(A+B)^-1≠A^-1+B^-1
5.4求逆矩阵的方法

公式法：|A|≠0，则A^-1=（1/|A|）A^*
初等变化：(A|E)---->(E|A^-1)
用定义求B：使AB=E或BA=E，则A可逆，且A^-1=B
分块矩阵：对角线直接求逆矩阵，副对角线求逆矩阵之外还好交换位置。

6.初等矩阵

6.1.1初等变换：设A是m×n矩阵，进行初等倍乘、互换、倍加行（列）变换，统称为初等变换。

倍乘：用某个非零常数k(k≠0)乘A的某行（列）的每个元素。
互换：互换A的某两行（列）的位置。
倍加行（列）：将A的某行（列）元素的k 倍加到另一行（列）。

6.1.2初等矩阵：单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。如：

E(2(k)):对第二行倍乘
E(1,2):第一、二行（或一、二列）互换
E(13(k)):第一行的k倍加到第三行，或者第三列的k倍加到第一列

6.1.3等价矩阵：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价（可能有多个矩阵与A等价，其中等价的最简矩阵被称为A的等价标准型）

6.2性质：

初等矩阵的转置仍然是初等矩阵
初等矩阵均是可逆矩阵（|A|≠0，满秩），且其逆矩阵仍是初等矩阵。
用初等矩阵P左乘（右乘）A，其结果PA(AP)相当于对A作相应的初等行（列）变换。

6.3行阶梯矩阵，行最简矩阵
6.3.1行阶梯矩阵：

如果矩阵有零行（即这一行元素全是0），则零行在最底部
每个非零元素的主元（即该行的最左边的第一个非零元），它们的列指标随着行指标的递增而严格增大。
6.3.2行最简矩阵：
是行阶梯矩阵
非零行的主元都是1
主元所在的列的其他元素都是0

7.分块矩阵

后补

8.方阵的行列式

|A^T|=|A|
|kA|=kⁿ|A|
|AB|=|A||B|(特别的|A²|=|A|²)
|A^*|=|A|^n-1
|A^-1|=|A|^-1
对角矩阵正对角：|A||B|,副对角:|A^-1|=|A|^-1

9.矩阵的秩

9.1.1k阶子式：在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k<=m,k<=n），位于这些行与列的交叉点上的k²个元素按其在原来矩阵A中的次序可构成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式。
9.2矩阵的秩：设A为m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，r阶以上子式均等于0，则称矩阵A的秩为r，记为r(A).零矩阵的秩规定为0.
性质：

r(A)=0 <=> A=O
A≠O <=>r(A)>=1
A是n阶矩阵，r(A)=n <=>|A|≠0 <=>A可逆，r(A)<n <=>|A|≠0 <=>A不可逆
若A是m×n矩阵，则r(A)<=min(m,n)
经过初等变换矩阵的秩不变。
设A是m×n矩阵，将A以行及列分块，得则有r(A)=A的行秩=A的列值

公式：

r(A)=r(A^T)；r(AA^T)=r(A)
当k≠0时，r(kA)=r(A)；r(A+B)<=r(A)+r(B)
r(AB)<=min(r(A),r(B)),max(r(A),r(B))<=r(A,B)<=r(A)+r(B)
若A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)
若A时m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O,r(A)+r(B)<=n

10.正交矩阵

定义：设A为n阶矩阵，若AA^T=A^TA=E，则称A为正交矩阵。
性质：

A^T=A^-1
A的行（列）向量都是单位向量且两两正交
|A|=±1

11.相似矩阵

11.1定义：

设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则称B是A的相似矩阵，或A相似于B，记为A∽B
若A∽λ，其中λ为对角阵，则称A可相似对角化，λ是A的相似标准形。

11.2性质：

A∽A
若A∽B => B∽A
若A∽B,B∽C =>A∽C
n阶方阵 A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。（可得若n阶矩阵A有n个不同的特征值λ₁、λ₂……λ_n，则A可相似对角化，且对角矩阵元素一一对应特征值。）
n阶矩阵 A可相似对角化的充分必要条件是A的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。

11.3相似的必要条件：

特征多项式相同：|λE-A|=|λE-B|
r(A)=r(B)
A,B有相同的特征值
|A|=|B|=特征值之积
A的迹=B的迹=特征值之和
A²∽B²(Aⁿ∽Bⁿ)
A+KE∽B+KE
如果A可逆，A^-1∽B^-1

12.实对称矩阵

12.1定义：除了主对角线，两侧相对应的数相同的矩阵
12.2性质：

实对称矩阵必可相似对角化
实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交
设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使得Q^-1AQ=Q^TAQ=λ

13.矩阵合同

13.1定义：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆阵C，使得C^TAC=B，则称A合同于B，记成A
13.2性质：

反身性
对称性
传递性
r(A)=r(B)
正负惯性指数相等

14.相似、合同、等价区分

可得：

相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵，满足 PQ=E 的等价矩阵是相似矩阵。
合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵，满足 p_A=p_B,q_A=q_B的等价矩阵是合同矩阵。
相似矩阵未必合同，合同矩阵未必相似。
正交相似矩阵必合同，正交合同矩阵必相似。
实对称矩阵相似必合同，实对称矩阵合同未必相似。