王树尧老师运筹学课程笔记 07 线性规划与单纯形法（标准型、基、基解、基可行解、可行基）
第7讲 线性规划与单纯形法（标准型、基、基解、基可行解、可行基）
线性规划问题的标准形式
将约束条件由弱约束变为强约束，将不等式组变为了方程组，降低了求解的难度。
对于一般的线性规划问题，容易得到：
目标函数max(min)z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn\quad \max (\min ) z=c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}+\cdots+c_{n} x_{n}max(min)z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn
约束条件 {a11x1+a12x2+⋯+a1nxn⩽(=,⩾)b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn⩽(=,⩾)b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn⩽(=,⩾)bmx1,x2,⋯,xn⩾0}\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n} \leqslant(=, \geqslant) b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n} \leqslant(=, \geqslant) b_{2} \\ \vdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n} \leqslant(=, \geqslant) b_{m} \\ x_{1}, \quad x_{2}, \cdots, \quad x_{n} \geqslant 0\end{array}\right\}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn⩽(=,⩾)b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn⩽(=,⩾)b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn⩽(=,⩾)bmx1,x2,⋯,xn⩾0⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎫
通过恒等变形将一般形式化为标准形式，以方便之后的求解。
- 目标函数需要化为maxmaxmax。若原本的目标函数是minminmin，则令z′=−zz^{'}=-zz′=−z，然后求maxz′max z^{'}maxz′。
- bib_ibi需要化为>0>0>0。如果bi<0b_i<0bi<0则不等式两边同时添负号。如果bi=0b_i=0bi=0则表示出现了退化，一般不会遇到。
- 约束条件需要化为===。若原本的约束条件是≤\leq≤，则约束条件变为原本的约束条件减去一个新的非负变量（松弛变量）。若原本的约束条件是≥\geq≥，则约束条件变为原本的约束条件加上一个新的非负变量（剩余变量）。（这一步的目的是将弱约束条件变为强约束条件，便于求解方程，代价是引入了额外的变量，提高了方程的维数。）
- 变量需要化为≥0\ge0≥0。若原本的变量是=0=0=0，则直接改为≥0\ge0≥0，但实际上这种情况并不会出现，因为如果变量=0=0=0，那么改变量就不会在目标函数和约束条件中出现。若原本的变量是≤0\le0≤0，则令xi′=−xix_i^{'}=-x_ixi′=−xi，并令xi′≥0x_i^{'}\ge0xi′≥0，同时目标函数和约束条件中进行替换。若原本的变量没有约束（∈\in∈R），则令xi=xi′−xi′′x_i=x_i^{'}-x_i^{''}xi=xi′−xi′′，并令xi′≥0xi′′≥0x_i^{'}\ge0\ x_i^{''}\ge0xi′≥0 xi′′≥0，同时目标函数和约束条件中进行替换。
- 规范书写目标函数。在形式上调整目标函数，把新引入的变量写回目标函数中。虽然其价值系数为0，但是也要写出来。
线性规划的解的讨论
首先将线性规划问题的标准形式写成矩阵形式。
A=(a11a12⋯a1n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)=(P1,P2,⋯,Pn);O=[00⋮0]\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{P}_{1}, \boldsymbol{P}_{2}, \cdots, \boldsymbol{P}_{n}\right) ; \quad \boldsymbol{O}=\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right]A=⎝⎜⎛a11⋮am1a12⋮am2⋯⋯a1n⋮amn⎠⎟⎞=(P1,P2,⋯,Pn);O=⎣⎢⎢⎢⎡00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤
X=[x1x2⋮xn];b=[b1b2⋮bm]\boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right] ; \quad \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right]X=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤;b=⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎤;C=(c1,c2,⋯,cn); \quad \boldsymbol{C}=\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right);C=(c1,c2,⋯,cn)
线性规划问题可以用矩阵描述为：
maxz=CX\max z=\boldsymbol{C}\boldsymbol{X}maxz=CX
AX=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}AX=b
X⩾0\boldsymbol{X} \geqslant 0X⩾0
可行解
满足约束条件式AX=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}AX=b、X⩾0\boldsymbol{X} \geqslant 0X⩾0的解称为线性规划的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
基
设AAA是约束方程组的m×n(m<n)m \times n(m<n)m×n(m<n)维系数矩阵，其秩为mmm。BBB是矩阵AAA中m×mm \times mm×m阶子矩阵，其中BBB的列向量都是线性独立的，且∣B∣=0|B|=0∣B∣=0，则称矩阵BBB是线性规划问题的一个基。
BBB中的PiP_iPi称为基向量，不在BBB中的PiP_iPi称为非基向量。假设前mmm个变量的系数列向量是线性独立的，用这些向量构成矩阵BBB，那么约束条件AX=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}AX=b可以写成：
(a11a21⋮am1)x1+(a12a22⋮am2)x2+⋯+(a1ma2m⋮amm)xm=(b1b2⋮bm)−(a1,m+1a2,m+1⋮am,m+1)xm+1−⋯−(a1na2n⋮amn)xn\begin{aligned} &\left(\begin{array}{c}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m 1}\end{array}\right) x_{1}+\left(\begin{array}{c}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m 2}\end{array}\right) x_{2}+\cdots+\left(\begin{array}{c}a_{1 m} \\ a_{2 m} \\ \vdots \\ a_{m m}\end{array}\right) x_{m}=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}a_{1, m+1} \\ a_{2, m+1} \\ \vdots \\ a_{m, m+1}\end{array}\right) x_{m+1}-\cdots-\left(\begin{array}{c}a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ \vdots \\ a_{m n}\end{array}\right) x_{n} \end{aligned}⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1⎠⎟⎟⎟⎞x1+⎝⎜⎜⎜⎛a12a22⋮am2⎠⎟⎟⎟⎞x2+⋯+⎝⎜⎜⎜⎛a1ma2m⋮amm⎠⎟⎟⎟⎞xm=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bm⎠⎟⎟⎟⎞−⎝⎜⎜⎜⎛a1,m+1a2,m+1⋮am,m+1⎠⎟⎟⎟⎞xm+1−⋯−⎝⎜⎜⎜⎛a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞xn
现若令上式的非基变量xm+1=xm+2=⋯=xn=0x_{m+1}=x_{m+2}=\cdots=x_{n}=0xm+1=xm+2=⋯=xn=0，这时变量的个数等于线性方程的个 数。用高斯消去法，可以求出一个解X=(x1,x2,⋯,xm,0,⋯,0)T\boldsymbol{X}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}, 0, \cdots, 0\right)^{\mathrm{T}}X=(x1,x2,⋯,xm,0,⋯,0)T，将这个解称为基解（注意基解是nnn维的，而不是mmm维的。）。由此可见有一个基就可以求出一个基解。
基可行解
满足非负条件约束X⩾0\boldsymbol{X} \geqslant 0X⩾0的基解称为基可行解。
可行基
可行解对应的基称为可行基。
基解和基可行解的几何意义
基解的几何意义是：强约束方程的交点。
基可行解的几何意义是：强约束方程的交点（基解），并且是可行域中的点。（换言之即可行域的顶点。）
此处读者可以自行举一个例子，并在图中画出来，然后在图中找出可行解、基可行解、基解和非可行解分别是哪一部分。
基解、可行解和基可行解的关系
上述几种解之间的包含关系可以用下图表示：
由基可行解求最优解
综上所述，找出所有的基，然后得到所有的基可行解，其对应的函数值中最大的就是最优解。当然，这种方法属于枚举法，而在之后的学习中可以通过一定的顺序比较基可行解对应的函数值，也就是单纯形法，这样就可以用比较少的对比次数找出最优解。
总结
为了方便寻找可行解，需要先把线性规划问题化为标准型，主要需要对目标函数、自由项、弱约束条件、自变量进行处理。
对于约束方程组，可以用线性代数的思想进行处理，找到系数矩阵的基，令非基变量为0，可以得到一个由基变量构成的方程组，可以解出唯一解，然后据此得到基解。一个系数矩阵可能有若干个基，每一个基都可以得到一个基解，若基解满足X⩾0\boldsymbol{X} \geqslant 0X⩾0，则该基解还是基可行解，可行解对应的基称为可行基。基可行解对应的函数值中最大的就是最优解。
基可行解的几何意义是可行域的顶点。
可行解和基解的交集为基可行解。
在之后的学习中可以通过一定的顺序比较基可行解对应的函数值，这样就可以用比较少的对比次数找出最优解。
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