《高等代数学》（姚慕生），习题1.3：n阶行列式
目录
- 1. 求下列行列式中第(1,2)\left( 1,2 \right)(1,2)，第(3,1)\left( 3,1 \right)(3,1)以及第(3,3)\left( 3,3 \right)(3,3)元素的余子式和代数余子式：
（1）∣2−1012−1−10−2∣\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣21−1−1200−1−2∣∣∣∣∣∣；（2）∣310−12110−13120651∣\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 6 & 5 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣32−1011360115−1021∣∣∣∣∣∣∣∣. - 2. 计算下列行列式的值：
（1）∣a0000b0000c0000d∣\left| \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣a0000b0000c0000d∣∣∣∣∣∣∣∣；（2）∣20003−100−20309−121∣\left| \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 3 & 0 \\ 9 & -1 & 2 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣23−290−10−100320001∣∣∣∣∣∣∣∣. - 3. 计算下列行列式的值：
（1）∣12340−3−1000−2700010∣\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \sqrt{7} \\ 0 & 0 & 0 & 10 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣10002−3003−1−2040710∣∣∣∣∣∣∣∣；（2）∣100021−2150137−121∣\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \\ 7 & -1 & 2 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣1257010−10−2120131∣∣∣∣∣∣∣∣. - 4. 计算下列行列式的值：
（1）∣abcd00ef00uv00xy∣\left| \begin{matrix} a & b & c & d \\ 0 & 0 & e & f \\ 0 & 0 & u & v \\ 0 & 0 & x & y \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣a000b000ceuxdfvy∣∣∣∣∣∣∣∣；（2）∣110−12110220−210459∣\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -2 \\ 10 & 4 & 5 & 9 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣1221011240105−10−29∣∣∣∣∣∣∣∣.
1. 求下列行列式中第(1,2)\left( 1,2 \right)(1,2)，第(3,1)\left( 3,1 \right)(3,1)以及第(3,3)\left( 3,3 \right)(3,3)元素的余子式和代数余子式：
（1）∣2−1012−1−10−2∣\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣21−1−1200−1−2∣∣∣∣∣∣；（2）∣310−12110−13120651∣\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 6 & 5 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣32−1011360115−1021∣∣∣∣∣∣∣∣.
解
记第(i,j)\left( i,j \right)(i,j)项的余子式和代数余子式分别为Mi,j,Ai,j.{{M}_{i,j}},\text{ }{{A}_{i,j}}.Mi,j, Ai,j.
1.
M1,2=∣1−1−1−2∣=−3,A1,2=(−1)1+2M1,2=3.M3,1=∣−102−1∣=1,A3,1=(−1)3+1M3,1=1.M3,3=∣2−112∣=5,A3,3=(−1)3+3M3,3=5.\begin{aligned} & {{M}_{1,2}}=\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \\ \end{matrix} \right|=-3,\text{ }{{A}_{1,2}}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}{{M}_{1,2}}=3. \\ & {{M}_{3,1}}=\left| \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right|=1,\text{ }{{A}_{3,1}}={{\left( -1 \right)}^{3+1}}{{M}_{3,1}}=1. \\ & {{M}_{3,3}}=\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|=5,\text{ }{{A}_{3,3}}={{\left( -1 \right)}^{3+3}}{{M}_{3,3}}=5. \\ \end{aligned}M1,2=∣∣∣∣1−1−1−2∣∣∣∣=−3, A1,2=(−1)1+2M1,2=3.M3,1=∣∣∣∣−120−1∣∣∣∣=1, A3,1=(−1)3+1M3,1=1.M3,3=∣∣∣∣21−12∣∣∣∣=5, A3,3=(−1)3+3M3,3=5.
2.
M1,2=∣210−112051∣→=2r2→r1∣034−112051∣=(−1)×(−1)×∣1251∣=−9,A1,2=(−1)1+2M1,2=9.M3,1=∣10−1110651∣→=−r1→r2，−6r1→r3∣10−1011057∣=1×∣1157∣=2,A3,1=(−1)3+1M3,1=2.M3,3=∣31−1210061∣=3×∣1061∣−2×∣1−161∣=−11,A3,3=(−1)3+3M3,3=−11.\begin{aligned} & {{M}_{1,2}}=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{2r_2 \to r_1} \left| \begin{matrix} 0 & 3 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right)\times \left( -1 \right)\times \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|=-9,\text{ }{{A}_{1,2}}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}{{M}_{1,2}}=9. \\ & {{M}_{3,1}}=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 6 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{-r_1 \to r_2，-6r_1 \to r_3} \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 7 \\ \end{matrix} \right|=1\times \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & 7 \\ \end{matrix} \right|=2,\text{ }{{A}_{3,1}}={{\left( -1 \right)}^{3+1}}{{M}_{3,1}}=2. \\ & {{M}_{3,3}}=\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3\times \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\times \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 6 & 1 \\ \end{matrix} \right|=-11,\text{ }{{A}_{3,3}}={{\left( -1 \right)}^{3+3}}{{M}_{3,3}}=-11. \\ \end{aligned}M1,2=∣∣∣∣∣∣2−10115021∣∣∣∣∣∣2r2→r1=∣∣∣∣∣∣0−10315421∣∣∣∣∣∣=(−1)×(−1)×∣∣∣∣1521∣∣∣∣=−9, A1,2=(−1)1+2M1,2=9.M3,1=∣∣∣∣∣∣116015−101∣∣∣∣∣∣−r1→r2，−6r1→r3=∣∣∣∣∣∣100015−117∣∣∣∣∣∣=1×∣∣∣∣1517∣∣∣∣=2, A3,1=(−1)3+1M3,1=2.M3,3=∣∣∣∣∣∣320116−101∣∣∣∣∣∣=3×∣∣∣∣1601∣∣∣∣−2×∣∣∣∣16−11∣∣∣∣=−11, A3,3=(−1)3+3M3,3=−11.
2. 计算下列行列式的值：
（1）∣a0000b0000c0000d∣\left| \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣a0000b0000c0000d∣∣∣∣∣∣∣∣；（2）∣20003−100−20309−121∣\left| \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 3 & 0 \\ 9 & -1 & 2 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣23−290−10−100320001∣∣∣∣∣∣∣∣.
解
- 该行列式是一个上三角（也是下三角）行列式，因此直接有
∣abcd∣=abcd.\left| \begin{matrix} a & {} & {} & {} \\ {} & b & {} & {} \\ {} & {} & c & {} \\ {} & {} & {} & d \\ \end{matrix} \right|=abcd.∣∣∣∣∣∣∣∣abcd∣∣∣∣∣∣∣∣=abcd. - 该行列式是一个下三角行列式，因此直接有
∣23−1−2039−121∣=2×(−1)×3×1=−6.\left| \begin{matrix} 2 & {} & {} & {} \\ 3 & -1 & {} & {} \\ -2 & 0 & 3 & {} \\ 9 & -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right|=2\times \left( -1 \right)\times 3\times 1=-6.∣∣∣∣∣∣∣∣23−29−10−1321∣∣∣∣∣∣∣∣=2×(−1)×3×1=−6.
3. 计算下列行列式的值：
（1）∣12340−3−1000−2700010∣\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \sqrt{7} \\ 0 & 0 & 0 & 10 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣10002−3003−1−2040710∣∣∣∣∣∣∣∣；（2）∣100021−2150137−121∣\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \\ 7 & -1 & 2 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣1257010−10−2120131∣∣∣∣∣∣∣∣.
解
- 该行列式是上三角行列式，因此直接有
∣1234−3−10−2710∣=1×(−3)×(−2)×10=60.\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ {} & -3 & -1 & 0 \\ {} & {} & -2 & \sqrt{7} \\ {} & {} & {} & 10 \\ \end{matrix} \right|=1\times \left( -3 \right)\times \left( -2 \right)\times 10=60.∣∣∣∣∣∣∣∣12−33−1−240710∣∣∣∣∣∣∣∣=1×(−3)×(−2)×10=60.
∣100021−2150137−121∣=按第1列展开1×∣1−21013−121∣−2×∣000013−121∣+5×∣0001−21−121∣−7×∣0001−21013∣=∣1−21013−121∣→r1→r3∣1−21013002∣=1×1×2=2.\begin{aligned} & \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \\ 7 & -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right| \xlongequal{按第1列展开}1\times \left| \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\times \left| \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right|+5\times \left| \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right|-7\times \left| \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right| \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow{r_1 \to r_3} \left| \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right|=1\times 1\times 2=2. \\ \end{aligned}∣∣∣∣∣∣∣∣1257010−10−2120131∣∣∣∣∣∣∣∣按第1列展开1×∣∣∣∣∣∣10−1−212131∣∣∣∣∣∣−2×∣∣∣∣∣∣00−1012031∣∣∣∣∣∣+5×∣∣∣∣∣∣01−10−22011∣∣∣∣∣∣−7×∣∣∣∣∣∣0100−21013∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣10−1−212131∣∣∣∣∣∣r1→r3∣∣∣∣∣∣100−210132∣∣∣∣∣∣=1×1×2=2.
4. 计算下列行列式的值：
（1）∣abcd00ef00uv00xy∣\left| \begin{matrix} a & b & c & d \\ 0 & 0 & e & f \\ 0 & 0 & u & v \\ 0 & 0 & x & y \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣a000b000ceuxdfvy∣∣∣∣∣∣∣∣；（2）∣110−12110220−210459∣\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -2 \\ 10 & 4 & 5 & 9 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣1221011240105−10−29∣∣∣∣∣∣∣∣.
解
- 若a=0a=0a=0，则该行列式按第一列展开计算结果显然是000. 若a≠0a\ne 0a=0，则由于第二列恰好是第一列的ba\frac{b}{a}ab倍，成比例关系，故行列式的值也为0.
- 观察到第三行恰好是第一行的222倍，于是行列式的值为0.
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