【C++】快速幂与矩阵快速幂

快速算底数的n次幂，时间复杂度为 O(log₂N)，与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。例如：

例如

11的二进制是1011
因此，我们将a¹¹转化为

//base为底数
int fastpow(int base, int n, int mod){int ans = 1;while (n) {//指数二进制位为1时，乘入结果if (n & 1) ans *= base % mod;//增加次方base *= base;n >>= 1;}return ans % mod;
}

取模是避免溢出，因为幂运算结果可能太大。同模原理：

A*B % C = (A%C * B%C)%C
(A+B)%C = (A%C + B%C)%C

矩阵快速幂：底数换成矩阵，同样乘法运算。例题：
https://leetcode-cn.com/problems/n-th-tribonacci-number/

泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2
给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1：
输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：
输入：n = 25
输出：1389537

提示：
0 <= n <= 37
答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

class Solution {
public:int tribonacci(int n) {if (n == 0) {return 0;}if (n <= 2) {return 1;}vector<vector<long>> q = {{1, 1, 1}, {1, 0, 0}, {0, 1, 0}};vector<vector<long>> res = pow(q, n);return res[0][2];}vector<vector<long>> pow(vector<vector<long>>& a, long n) {//单位矩阵vector<vector<long>> ret = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};while (n > 0) {if ((n & 1) == 1) {ret = multiply(ret, a);}n >>= 1;a = multiply(a, a);}return ret;}vector<vector<long>> multiply(vector<vector<long>>& a, vector<vector<long>>& b) {vector<vector<long>> c(3, vector<long>(3));for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j] + a[i][2] * b[2][j];}}return c;}
};

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