COMSOL（1）寻找最小曲面

摘要：本文意在通过COMSOL Multiphysics 5.2 软件的Coefficient Form PDE模块来实现给定边界的最小曲面寻找。

最近学习了《COMSOL Multiphysics 基本操作指南和常见问题解答》中的寻找最小曲面部分，个人觉得此案例非常适合学习PDE模块。但是操作指南这本书是针对COMSOL3.5的，而现在COMSOL5.2a都已经出了，所以软件的变动比较大。我参考指南摸索了好一会儿才摸出来的，具体是用COMSOL5.2实现的，写出来跟大家分享一下。

问题描述：给定一条空间曲线，求以此空间曲线为边界的面积最小的曲面。

具体案例：如上式，即在单位圆区域内，以u=u(x,y)=x*x,为边界，求其张成的最小面积的曲面。采用Euler-Lagrange方程，可将此问题化为求解

（1）

具体问题化简，如何运用Euler-lagrange方程，我们在此不做赘述，我希望读者能注重于软件的求解部分，且假设就为利用PDE模块求解上述方程，这也正是我写这篇博文的目的所在。

首先打开COMSOL Multiphysics5.2，选择model wizard（模型向导）--2D来到物理场的选择界面，选择Mathematics--PDE interfaces--Coefficient Form PDE(c),然后选择add添加系数型PDE场如下：

特别要注意的是上图右边的Review Physics Interface部分的内容，标示了因变量的信息，在这个模块中默认单个因变量名称是u,当存在多个因变量时则为u1,u2,....当然你也可以在Dependent variable栏输入自己习惯的因变量名字，这个是后面在方程输入中要注意的，变量名称此处就已定义。

接着选择study，由于在这个案例中，边界不随着时间变化，所以我们选择stationary,然后选择down如图。

下面点击Model builder下的根目录（root），来到setting窗口，找到unit system，下拉窗口选择none。做这一步是为了防止后面变量使用时因为单位问题而报错。（事实上，虽然会报错但依然可以进行计算，个人只是觉得warning看着不顺眼而已。。。。）

下面开始定义几何，选择菜单栏的Geometry--Primitives--Primitives--ellipse, 由于它的默认设置是中心在（0，0），半径为1的圆，与此例暗合，因而不需改值，直接选择Build Selected构建, 得到下图。

然后进行边界的设定，选择菜单栏的Physics--Boundaries--Dirichlet Boundary Condition，来到狄利克雷边界条件的settings窗口，找到Boundary section，下拉section选择All boundaries，在r处输入x*x，如下图。

然后点击Model Builder下的Coefficient Form PDE（c)下的Coefficient Form PDE1，在Diffusion Coefficient部分输入各系数：c=1/sqrt(1+ux*ux+uy*uy),a=0,f=0.至于为什么这么输入，大家可以点击Equation节点，查看方程的原型，结合我们此例的问题，对照（1）的方程便十分清楚了。（这里说明一下，在COMSOL中默认ux是因变量u对x的偏导数，uy同理。）

接下来是对其网格化，COMSOL在求解问题时采用的有限元方法。点击Model Builder下的Mesh，在setting窗口下的element size的下拉中选择fine细化网格，再点击Builder all对其网格化。

接着进行求解的设定，选择菜单栏中的study--solver--show default solver，然后展开Solver configuration，展开Solution1,点击Stationary Solver,在Settings窗口下的General中的Linearity选择Nonlinear.

下面就可以点击Compute求解了，计算得到下图。

为了更好的显示结果，我们需要对计算结果做一些后处理，找到Model Builder下的Result下的2D Plot Group 1展开，右键surface1选择Height Expression，即可得到下图：

可以看到限制在单位圆区域，以x的平方为边界的面积最小的曲面是马鞍面。这个例子比较清晰简单，适合用来初步了解怎么使用COMSOL的PDE模块。

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