每日一题/010/微积分/极限/换元/取指数

题目：
求
lim⁡x→+∞ex(1+1x)x2\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}x→+∞lim(1+x1)x2ex

参考答案：
lim⁡x→+∞ex(1+1x)x2=exp⁡(lim⁡x→+∞ln⁡ex(1+1x)x2)=exp⁡(lim⁡x→+∞(x−x2ln⁡(1+1x))\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}&=\exp(\ \lim_{x\to+\infty} \ln\frac{e^x}{(1+\frac{1}{x})^{x^2}})\\ &=\exp(\lim_{x\to+\infty}(x-x^2\ln(1+\frac{1}{x})) \end{aligned}x→+∞lim(1+x1)x2ex=exp( x→+∞limln(1+x1)x2ex)=exp(x→+∞lim(x−x2ln(1+x1))

令：

t=1xt=\frac{1}{x}t=x1

那么：

lim⁡x→+∞(x−x2ln⁡(1+1x)=lim⁡t→0+t−ln⁡(1+t)t2=lim⁡x→0+1−11+t2t=lim⁡x→0+t(1+t)(2t)=lim⁡x→0+12(1+t)=12\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}(x-x^2\ln(1+\frac{1}{x})&=\lim_{t\to 0^+}\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}\\ &=\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\frac{1}{1+t}}{2t}\\ &=\lim_{x\to 0^+}\frac{t}{(1+t)(2t)}\\ &=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{2(1+t)}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}x→+∞lim(x−x2ln(1+x1)=t→0+limt2t−ln(1+t)=x→0+lim2t1−1+t1=x→0+lim(1+t)(2t)t=x→0+lim2(1+t)1=21

所以

exp⁡(lim⁡x→+∞(x−x2ln⁡(1+1x))=exp⁡(1/2)=e\exp(\lim_{x\to+\infty}(x-x^2\ln(1+\frac{1}{x}))=\exp(1/2)=\sqrt{e}exp(x→+∞lim(x−x2ln(1+x1))=exp(1/2)=e

2021年1月5日17:27:02

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