解析几何 | 吕子根设三平行平面 $\pi_i:\ Ax+By+Cz+D_i=0\,(i=1,2,3),L,M,N$ 依次是平面 $\pi_1,\pi_2,\pi

题目：

设三平行平面 πi:Ax+By+Cz+Di=0(i=1,2,3),L,M,N\pi_i:\ Ax+By+Cz+D_i=0\,(i=1,2,3),L,M,Nπi: Ax+By+Cz+Di=0(i=1,2,3),L,M,N 依次是平面 π1,π2,π3\pi_1,\pi_2,\pi_3π1,π2,π3 上的任意点，求 △LMN\triangle LMN△LMN 的重心的轨迹。

参考答案：

设 L(x1,y1,z1),M(x2,y2,z2),N(x3,y3,z3)L(x_1,y_1,z_1),M(x_2,y_2,z_2),N(x_3,y_3,z_3)L(x1,y1,z1),M(x2,y2,z2),N(x3,y3,z3)，满足

Axi+Byi+Czi+Di=0i=1,2,3(1)Ax_i+By_i+Cz_i+D_i=0\qquad i=1,2,3 \tag{1}Axi+Byi+Czi+Di=0i=1,2,3(1)

设 △LMN\triangle LMN△LMN 的重心的坐标为 KaTeX parse error: \tag works only in display equations，则

x=∑i=13xi3,y=∑i=13yi3,z=∑i=13zi3x=\frac{\sum_{i=1}^3x_i}{3},y=\frac{\sum_{i=1}^3y_i}{3},z=\frac{\sum_{i=1}^3z_i}{3}x=3∑i=13xi,y=3∑i=13yi,z=3∑i=13zi

将 (1)(1)(1) 式求和，即可得到：

A∑i=13xi+B∑i=13yi+C∑i=13zi+∑i=13Di=0A\sum_{i=1}^3x_i+B\sum_{i=1}^3y_i+C\sum_{i=1}^3z_i+\sum_{i=1}^3D_i=0 Ai=1∑3xi+Bi=1∑3yi+Ci=1∑3zi+i=1∑3Di=0

结合 (2)(2)(2) 式即可得到：

3Ax+3By+3Cz+∑i=1nDi=03Ax+3By+3Cz+\sum_{i=1}^nD_i=03Ax+3By+3Cz+i=1∑nDi=0

整理得到：

Ax+By+Cz+∑i=1nDi3=0(3)Ax+By+Cz+\frac{\sum_{i=1}^nD_i}{3}=0\tag{3}Ax+By+Cz+3∑i=1nDi=0(3)

(3)(3)(3) 式即为 △LMN\triangle LMN△LMN 的重心的轨迹满足的方程。

2021年11月11日23:34:22

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