引言

最近完成老师给的作业，题目如下：

（1）请推导出单径瑞利信道中的BPSK相干解调的理论误码率性能，并画出比特信噪比与误码率的关系曲线。
（2）在单径瑞利信道中，请设计一种时分的导引辅助的信道估计方法，用Simulink进行仿真，测量BPSK的误码率性能，画出比特信噪比与误码率的关系曲线，并与(1)的曲线进行对比。

对于BPSK的调制解调，可以参考之前的文章：

BPSK调制解调

理论差错率推导

BPSK一般是输入±1进行调制。在此处，我们假设输入信号为：s1(t)=g(t)s_1(t)=g(t)s1(t)=g(t)和s2(t)=−g(t)s_2(t)=-g(t)s2(t)=−g(t)。其中g(t)g(t)g(t)是在区间[0,Tb][0,T_b][0,Tb]非零而在其他处为零的任意脉冲，其能量为ξg\xi_gξg。

则输入信号可表示为s1(t)=ξbs_1(t)=\sqrt{\xi_b}s1(t)=ξb和s2(t)=−ξbs_2(t)=-\sqrt{\xi_b}s2(t)=−ξb。假设两个信号是等概发送的，再假设此时发送信号s1s_1s1。

在小尺度衰落信道中，发送信号s1(t)s_1(t)s1(t)将发送乘性失真，单径瑞利衰落信道意味着至少在一个信号传输间隔内，乘法过程可以看做是乘一个常数。因此，当发送信号s1(t)s_1(t)s1(t)时，在一个信号传输间隔内的等效低通接收信号为：
r1(t)=ae−jϕs1(t)+z(t)(0≤t≤T)(1)r_1(t)=ae^{-j\phi}s_1(t)+z(t) (0\le t \le T) \tag{1}r1(t)=ae−jϕs1(t)+z(t)(0≤t≤T)(1)
式（1）中，z(t)z(t)z(t)表示恶化信号的复高斯白噪声过程。

假设信道衰落足够慢,以致于相移ϕ\phiϕ能够从接收信号中无误差地估计出来。在这种情况下,能够实现接收信号的理想相干检测。于是,接收信号可用一个匹配滤波器来处理。

那么接收端经过匹配滤波器得到的解调信号应该为：r=as1+n=aξb+n(2)r=as_1+n=a\sqrt{\xi_b}+n \tag{2}r=as1+n=aξb+n(2)

式（1）中，n表示均值为0，方差为σn2=12N0\sigma_n^2=\frac{1}{2}N_0σn2=21N0的加性高斯分量。a表示衰减。此时，要判断接收到的rrr究竟是s1s_1s1还是s2s_2s2，就要进行判决。在先验概率相同的情况下，最大后验概率准则和最大似然准则的效果相同。

在本实验中，将r与阈值0进行比较，如果r>0，则判为s1s_1s1，否则判为s2s_2s2

显然，r被判决为s1和s2概率分布函数（PDF）分别是：
p(r∣s1)=−1πN0e−(r−aξb)2/N0(3)p(r|s_1)=-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} e^{-(r-a\sqrt{\xi_b})^2/N_0} \tag{3}p(r∣s1)=−πN01e−(r−aξb)2/N0(3)
p(r∣s2)=−1πN0e−(r+aξb)2/N0(4)p(r|s_2)=-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} e^{-(r+a\sqrt{\xi_b})^2/N_0} \tag{4}p(r∣s2)=−πN01e−(r+aξb)2/N0(4)

在给定了发送符号s1(t)s_1(t)s1(t)的情况下，错误概率就是r<0的概率。即
p(e∣s1)=∫−∞0p(r∣s1)dr=Q(2a2ξbN0)(5)p(e|s_1)=\int_{-\infty}^{0}p(r|s_1)dr \\ =Q\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{2a^2\xi_b}{N_0}} \end{pmatrix} \tag{5}p(e∣s1)=∫−∞0p(r∣s1)dr=Q(N02a2ξb)(5)

式（5）是一个Q函数，定义为Q(x)=12π∫x∞e−t2/2dt,x≥0Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty}e^{-t^2/2}dt,x\ge 0Q(x)=2π1∫x∞e−t2/2dt,x≥0。同理，当发射信号s2s2s2时，错误概率也是p(e∣s2)=Q(2a2ξbN0)p(e|s_2)=Q\begin{pmatrix}\sqrt{\frac{2a^2\xi_b}{N_0}}\end{pmatrix}p(e∣s2)=Q(N02a2ξb)。因为s1和s2是等概率发送的，所以平均错误概率仍然是
pb=12p(e∣s1)+12p(e∣s2)=Q(2a2ξbN0)(6)p_b=\frac{1}{2}p(e|s_1)+\frac{1}{2}p(e|s_2) \\ =Q\begin{pmatrix}\sqrt{\frac{2a^2\xi_b}{N_0}}\end{pmatrix} \tag{6}pb=21p(e∣s1)+21p(e∣s2)=Q(N02a2ξb)(6)

从式（6）我们可以发现，错误概率只跟比特信噪比：ξbN0\frac{\xi_b}{N_0}N0ξb和衰减a有关。我们定义接收信噪比γb=a2ξbN0\gamma_b=\frac{a^2\xi_b}{N_0}γb=N0a2ξb。则BPSK的差错率为：pb(γb)=Q(2γb)(7)p_b(\gamma_b)=Q(\sqrt{2\gamma_b}) \tag{7}pb(γb)=Q(2γb)(7)

我们把式（7）看成是条件差错概率，其条件是衰减系数a保持不变。但我们为了得到a变化时的出错率，所以我们需要将（7）中的pb(γb)p_b(\gamma_b)pb(γb)对γb\gamma_bγb求平均，即需要计算如下积分：
pb=∫0+∞pb(γb)p(γb)dγb(8)p_b=\int_{0}^{+\infty}p_b(\gamma_b)p(\gamma_b)d\gamma_b \tag{8}pb=∫0+∞pb(γb)p(γb)dγb(8)
其中，p(γb)p(\gamma_b)p(γb)是a为随机变量时，γb\gamma_bγb的概率密度函数。

此时，我们只需知道p(γb)p(\gamma_b)p(γb)即可。在单径瑞利信道中：因为a是瑞利分布的,故a2a^2a2为具有两个自由度的χ2\chi^2χ2分布。因此, γb\gamma_bγb也是χ2\chi^2χ2分布的。容易证明
p(γb)=1γbˉe−γbγb(γb≥0)(9)p(\gamma_b)=\frac{1}{\bar{\gamma_b}}e^{-\gamma_b\sqrt{\gamma_b}}(\gamma_b\ge0) \tag{9}p(γb)=γbˉ1e−γbγb(γb≥0)(9)

此时我们定义比特信噪比：BSNR=2ξb/N0BSNR=2\xi_b/N_0BSNR=2ξb/N0

式（9）中，γbˉ\bar{\gamma_b}γbˉ是平均信噪比，它定义为：γbˉ=ξbN0E(a2)\bar{\gamma_b}=\frac{\xi_b}{N_0}E(a^2)γbˉ=N0ξbE(a2)。由于a2a^2a2为具有两个自由度的χ2\chi^2χ2分布，所以E(a2)=2E(a^2)=2E(a2)=2，γbˉ=4BSNR\bar{\gamma_b}=4BSNRγbˉ=4BSNR。

让我们尝试把式（7）、（9）带入式（8）,积分结果为：
pb=12(1−γbˉ1+γbˉ)=12(1−4BSNR1+4BSNR)(10)p_b=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}{1-\sqrt{\frac{\bar{\gamma_b}}{1+\bar{\gamma_b}}}}\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}{1-\sqrt{\frac{4BSNR}{1+4BSNR}}}\end{pmatrix} \tag{10}pb=21(1−1+γbˉγbˉ)=21(1−1+4BSNR4BSNR)(10)

式（10）就是理想情况下的差错率表达式。

理论差错率编程绘图

%author: ddatalent
%date: 2021/06/28
clear;close;clc;
snr=zeros(1,30);
snr(1)=1e-3;
for i=1:29snr(i+1)=snr(i)*1.5;
end
Pb=zeros(1,length(snr));
for i=1:length(snr)Pb(i)=1/2*(1-sqrt(4*snr(i)/(1+4*snr(i))));
end;figure()
plot(20*log10(snr),Pb);
xlabel('SNR(dB)');
ylabel('Pe');
title('理想误码率曲线');
grid on

时分的导引辅助的信道估计方法

单径瑞利信道，由于只有单径的信号，不考虑时延扩展,它描述的是信道的时间选择性衰落特性,也就是平坦衰落，我们在一帧符号的帧头插入一个‘1’比特作为导引估计信道特性，并且可以认为在一帧内信道特性不会变化。

本文参考自：
《MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB》
《数字通信》（第四版，第14章）

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单径瑞利信道中的BPSK相干解调的（理论）误码率性能

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