P2346 四子连棋题解

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2020.4.1

在这里立个 flag\text{flag}flag：一周内 AC\texttt{AC}AC 不了这道题目，我就倒 ! 立 ! 洗 ! 头 !

本人还没 AC\texttt{AC}AC，不过呢，谔谔，先整理下思路吧。

简要题意：

给定一个棋局，双方轮流将自己的棋子走到空位（任意方先走），问使得“四子连棋”（即四个子在一条直线上，斜线也可以）的最小步数。

显然，4×44 \times 44×4 的棋盘只要不出问题就能 AC\text{AC}AC.（但我。。。）

本题需要优化搜索！（其实不然）

假设你用纯属的 bfs\texttt{bfs}bfs，旁边开着哈希，你完全 有可能将所有状态都遍历一遍 。

而所有状态的种数是（根据组合计算）：

16!7!×7!×2!=411840\frac{16!}{7! \times 7! \times 2!} = 4118407!×7!×2!16!=411840

然后，你映射到哈希还需要 42=164^2 = 1642=16 的时间，然后还要每次判断答案再用 42=164^2 = 1642=16 的时间，其它的不说，时间复杂度达到了：

O(4×105×162)>O(108)O(4 \times 10^5 \times 16^2) > O(10^8)O(4×105×162)>O(108)

再快的评测机，你广搜的常数也不会小的，然后妥妥的 T\text{T}T 掉了。。

你说：好，我用双向 bfs\text{bfs}bfs.

没错确实可以，但这边不讲究竟是懒，还是博主不会，大家细细品！

那么 A*\text{A*}A* 是什么呢？（这么神秘）

其实，A*\text{A*}A* 的搜索可以保证每次的状态越来越优（至少也不会变劣）。

假设当前状态为 xxx，转移状态为 yyy，对状态的咕值函数为 fff（没错就是这个咕，咕咕咕的咕），则必须满足：

fx≤fyf_x \leq f_yfx≤fy

此时才可以进行转移，否则 A*\text{A*}A* 就直接把它结束。

为什么呢？

你想，如果你转移一步状态反而变劣了，那肯定还不如不转，对不对？

那么，这个 咕值函数 在本题中是什么呢？

就是 最大的连续棋子。

也就是说，如果你走了一步，原来连续的几个棋子被你破坏导致答案变劣，那这步就可以去世了。

那你说，如果我在破坏一个的同时又创造了新的一个呢？那不会影响，因为你新的一个如果还是较劣也会被剔除，否则这步就是可以的。

至少，A*\text{A*}A* 满足状态越来越优（至少不会变劣），那么就非常的好。（好！好！好！）

这样可以认为是一个 可行性剪枝 但是创造者为了提高咕值就把它列成算法怎么地

但是，在本题中，这个优化没有什么用处。

因为一个状态至少有 222 个连续的棋子（反证可知），所以如果原棋盘的咕值是 222，那么还是会遍历的。

不过如果是 333 的话那瞬间时间复杂度就降到地下了。。（不过随机数据还没这个概率）

时间复杂度：O(wys)O(\texttt{wys})O(wys).（玄学，因为完全不会遍历所有状态）

实际得分：80pts80pts80pts.（本人不知道哪里写炸了，如果有误可以在讨论区提出！）

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}struct node{char p[5][5];int step; char tt; //tt 表示上一局的走棋方
};char a[5][5];
map<string,int> h;
queue<node> q;const int dx[4]={1,-1,0,0};
const int dy[4]={0,0,1,-1};inline node mp(char a[5][5],int x,char tt) {node t; t.tt=tt; for(int i=1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=4;j++) t.p[i][j]=a[i][j];t.step=x; return t;
} //将数据整装成结构体inline string turn(char a[5][5]) {string st="";for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=1;j<=4;j++) st+=a[i][j];return st;
} //压缩成字符串（其实3进制状压也行）inline pair<int,int> get(char a[5][5],int x,int y) {for(int i=1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=4;j++)if(a[i][j]=='O' && (i!=x || j!=y))return make_pair(i,j);
} //寻找不在 (x,y) 位置的 O ，第一次找到后可以顺便找第二次inline int f(char a[5][5]) {int maxi=1; for(int i=1;i<=4;i++) {if(a[i][1]==a[i][2] && a[i][2]==a[i][3] && a[i][3]==a[i][4]) return 4;if(a[i][2]==a[i][3] && (a[i][1]==a[i][2] || a[i][3]==a[i][4])) maxi=max(maxi,3);else if(a[i][1]==a[i][2] || a[i][2]==a[i][3] || a[i][3]==a[i][4]) maxi=max(maxi,2); //横着} for(int i=1;i<=4;i++) {if(a[1][i]==a[2][i] && a[2][i]==a[3][i] && a[3][i]==a[4][i]) return 4;if(a[2][i]==a[3][i] && (a[1][i]==a[2][i] || a[3][i]==a[4][i])) maxi=max(maxi,3);else if(a[1][i]==a[2][i] || a[2][i]==a[3][i] || a[3][i]==a[4][i]) maxi=max(maxi,2); //竖着} bool l[5][5]; memset(l,0,sizeof(l));for(int i=1;i<=3;i++) for(int j=1;j<=3;j++) {if(l[i][j]) continue;int x=i,y=j;while(x<=3 && y<=3 && a[x+1][y+1]==a[x][y]) l[++x][++y]=1;maxi=max(maxi,x-i+1); //往右下角走} memset(l,0,sizeof(l));for(int i=1;i<=3;i++) for(int j=2;j<=4;j++) {if(l[i][j]) continue;int x=i,y=j;while(x<=3 && y>=2 && a[x+1][y-1]==a[x][y]) l[++x][--y]=1;maxi=max(maxi,x-i+1); //往左下角走} return maxi;
} //咕值函数/*inline void print(char a[5][5],int step) {putchar('\n');for(int i=1;i<=4;i++) {for(int j=1;j<=4;j++) putchar(a[i][j]);putchar('\n');} printf("%d\n",step);
}*/ //调试的代码inline void bfs() {q.push(mp(a,0,'O')); h[turn(a)]=1;while(!q.empty()) {node t=q.front(); char now[5][5]; int step;for(int i=1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=4;j++)now[i][j]=t.p[i][j]; step=t.step; //取出队首q.pop();  //print(now,step); //出队pair<int,int> pr=get(now,0,0);pair<int,int> pr2=get(now,pr.first,pr.second); //得到两个位置
//      printf("%d %d %d %d\n",pr.first,pr.second,pr2.first,pr2.second);for(int i=0;i<4;i++) {int x=dx[i]+pr.first,y=dy[i]+pr.second;if(x<1 || y<1 || x>4 || y>4 /*|| now[x][y]==t.tt*/ || now[x][y]=='O' || now[x][y]==t.tt) continue;//不是上一局的那一方，并且不是两个空位转化swap(now[x][y],now[pr.first][pr.second]);int u=f(now),v=f(t.p);if(u<v || h[turn(now)]) { //变劣 或 已出现swap(now[x][y],now[pr.first][pr.second]); continue; }h[turn(now)]=1;   q.push(mp(now,step+1,a[x][y])); //入队，标记if(u==4) { //达到目标状态
//              print(now,step+1);printf("%d\n",step+1);exit(0);} swap(now[x][y],now[pr.first][pr.second]); //记得再换回去} pr=pr2; //对第二个位置同样做一遍for(int i=0;i<4;i++) {int x=dx[i]+pr.first,y=dy[i]+pr.second;if(x<1 || y<1 || x>4 || y>4 /*|| now[x][y]==t.tt*/ || now[x][y]=='O' || now[x][y]==t.tt) continue;swap(now[x][y],now[pr.first][pr.second]);int u=f(now),v=f(t.p);if(u<v || h[turn(now)]) {swap(now[x][y],now[pr.first][pr.second]);continue; }h[turn(now)]=1; q.push(mp(now,step+1,a[x][y]));if(u==4) {//              print(now,step+1);printf("%d\n",step+1);exit(0);} swap(now[x][y],now[pr.first][pr.second]);}}
}int main(){for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=1;j<=4;j++) cin>>a[i][j];if(f(a)==4) puts("0"); //特判一开始就是目标状态else bfs();return 0;
}

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