8.1-3 证明：对于长度为n的n!中输入中至少一半而言，不存在线性时间的比较排序算法。对于n!中的1/n部分而言又怎样呢？1/2ⁿ部分呢？

　　解：即在决策树模型中求1/2, 1/n, 1/2ⁿ 部分的平均路径长度。分别为 \lg\frac{n!}{2}, \lg\frac{n!}{n}, \lg\frac{n!}{2^{n}}。渐近时间复杂度均为O(nlgn)。

　　8.3-4 说明如何在O(n)时间内，对0到n²-1之间的n个整数进行排序。

　　解： 这个问题技巧性较强。基数排序，以n为基数，数长度为2，每位有n个可能取值。时间复杂度O(n)。

　8.3-5 在本节的第一个卡片排序算法中，为排序d位十进制数，在最坏情况下需要排序几遍？最坏情况下操作员要看管几堆卡片？

　　解：第一个卡片排序算法，即从高位开始进行基数排序。用这种方法进行排序，第一遍情况下把所有数分为10组，然后需要对每组数据的第二位进行一遍排序，最坏情况下每组数据又分为10组。

　　　　这样当前组每排序一遍就分为10组数据。第一位排序1遍，第二位10遍，第i位10^i-1 遍，最坏情况下需排序(10^d - 1)/9 遍。在第d位共有10^d  堆。

　8.4-4 在单位圆中有n各点，p_{i} = (x_{i}, y_{i})，使得 0 < {x_{i}}^{2} + {y_{i}}^2 \le 1, i = 1, 2, \dots, n。假设所有点都是均匀分布的，亦即，某点落在某一区域中的概率与该区域的面积成正比。请设计一个 \Theta(n) 期望时间的算法，来根据点到原点的距离 d_{i} = \sqrt{{x_{i}}^{2} + {y_{i}}^{2}} 对n个点排序。

　　解：桶排序： 点均匀分布，则每个桶的尺寸应相等，即每个桶在圆中所占据的面积相等。把圆分为n个部分，第一个部分是以原点为圆心的圆，其他部分是以原点为圆心的圆环。设第i部分的半径为

r_i (外圆环到原点距离)，则对于相邻的i,j。i < j，有 r_j - r_i = 1/n，又r₁ = 1/n。据此可求可r_i ，可得各圆环的半径。

　8.4-5 一个随机变量X的的概率分布函数P(x)定义为P(x) = Pr{X <= x}。假设n个随机变量X₁，X₂， ...，X_n 符合连续概率分布函数P, 它在O(1)时间内计算。说明如何在线性时间期望内排序这n个数。

　　解：X符合分布P，不一定是均匀分布，且不知范围。但P(x)值属于[0, 1]，且对于X严格单调递增，排序P(x)即排序X。将P(x)均匀分为n个部分，由于X随机选取，所以落入每个范围的概率相同。

如果 (i-1)/n <= p(x_i) < i/n，则将它放入第i个桶中。

8-2 以线性时间排序

　　解： a) b) c) 可用同一算法解决：用两个指针i, j。i -> 0, j -> 1。从右往左扫描数组，如果 j > i 则交换j, i 所指的元素，否则移动指针。

　　　　d) 算法同a)中算法，在比较两元素大小的时候可以用基数排序，a)中算法比较次数不超过n。两个元素基数排序时间为O(d)。时间复杂度为O(dn)。

　　　　e) 还是上代码吧：

 1 void inplace_counting_sort(int *arr, int size, int k) 2 { 3     int *temp = (int*)malloc(sizeof(int)*k); 4     int *temp1 = (int*)malloc(sizeof(int)*k); 5     int *temp2 = (int*)malloc(sizeof(int)*k); 6     int i; 7     for(i = 0; i < k; i++) 8     { 9         temp[i] = 0;10         temp1[i] = 0;11         temp2[i] = 0;12     }13     for(i = 0; i < size; i++)14     {15         temp[arr[i]] += 1;16         temp1[arr[i]] += 1;17         temp2[arr[i]] += 1;18     }19     for(i = 1; i < k; i++)20     {21         temp[i] += temp[i-1];22         temp1[i] += temp1[i-1];23     }24     25     // from size-1 to 0, make sure every element is in its right postion.26     int j = size - 1;27     while(j >= 0)28     {29         int value = arr[j];30         // if value in its rightpostion,skip this position; otherwise swap the values in 31         // arr[j] and arr[temp[value]]32         if((j >= temp1[value]-temp2[value])&&(j <= temp1[value]-1))33         {34             if(temp[value] == j+1)35                 temp[value]--;36             j--;37         }38         else39         {40             arr[j] = arr[temp[value]-1];41             arr[temp[value]-1] = value;42             temp[value]--;43         }44     }45 46     free(temp);47     free(temp1);48     free(temp2);49 }

　　8-4 水壶

　　解：a) 略

　　　　b) 两种水壶共有n!中对应，决策树模型中节点个数不少于n!。比较次数最少为lgn!。

　　       c) 类似快速排序：

　　　　　1. 从红色水壶中随机挑选一个水壶r，找到对应的蓝色水壶b，并将蓝色水壶分为容量大于r和小于r的两部分r>, r<。

　　　　   2. 用b将红色水壶分为容量大于b和小于b的两部分b>, b<。

　　　　　3. 利用上述方法分别比较r>, b> 和 r<, b<。