fisher线性判别算法python_干货｜机器学习算法之线性判别分析

作者：just_sort

链接：https://blog.nowcoder.net/n/e668319c70b64fab945871e5ab6cc363

来源：牛客网

算法原理

在上文我们使用LDA实现了一个二分类任务。那么数据有大于2种类别，假设为C类，这时候怎么办呢？在上文我们定义的“类间散度矩阵”

就不再适用，所以我们这里引入“全局散度矩阵”：

其中muμ是所有示例的均值向量。将类内散度矩阵S_wSw重定义为每个类别的散度矩阵之和，即：

从上面两个式

推得:

其中N代表类别数，m_imi代表第i类的示例数。

关于这个等式的推导可以看南瓜书，我这里截图过来一下：

这里偷了一张图，可以更好的理解这个算法。

显然，多分类LDA有多种实现方法：使用S_b,S_w,S_tSb,Sw,St三者中的任意两个即可。常见一种实现是采用优化目标：

式3.35就是我们上篇博客写的“广义瑞利商”。其中的tr()为矩阵的迹，一个n×n的对角矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。

这个优化目标实际上等价于求解多个w组合成W，那么该问题就等价于求解多个上一章的优化目标，使用相同的方法，可以求得下式：

即是：

W的闭式解为

的d'个最大非零广义特征值对应的特征向量组成的矩阵,d'<=N-1d′<=N−1。

如果将W视为一个投影矩阵，则多分类LDA将样本投影到d'维空间，d'通常远小于数据的原有属性d'′。于是，可以通过这个投影来减小样本点的维数，且投影过程中使用了类别信息，因此LDA也常常被视为一种经典的监督降维技术。

接下来使用sklearn中的aris数据，并使用LDA算法对其进行降维，并可视化。

代码

#
coding = utf - 8
import numpy as np
from sklearn.datasets
import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt# 这是sklearn中实现的LDA， 待会我们会比较自己实现的LDA和它的区别
from sklearn.discriminant_analysis
import LinearDiscriminantAnalysis# k为目标
def LDA(X, y, k):label_ = list(set(y))
X_classify = {}
for label in label_:X1 = np.array([X[i]for i in range(len(X)) if y[i] == label])
X_classify[label] = X1miu = np.mean(X, axis = 0)
miu_classify = {}
for label in label_:miu1 = np.mean(X_classify[label], axis = 0)
miu_classify[label] = miu1# St = np.dot((X - mju).T, X - mju)# 计算类内散度矩阵Sw
Sw = np.zeros((len(miu), len(miu)))
for i in label_:Sw += np.dot((X_classify[i] - miu_classify[i]).T, X_classify[i] - miu_classify[i])# Sb = St - Sw# 计算类内散度矩阵Sb
Sb = np.zeros((len(miu), len(miu)))
for i in label_:Sb += len(X_classify[i]) * np.dot((miu_classify[i] - miu).reshape((len(miu), 1)), (miu_classify[i] - miu).reshape((1, len(miu))))# 计算S_w ^ {-1
}
S_b的特征值和特征矩阵
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(np.linalg.inv(Sw).dot(Sb))
sorted_indices = np.argsort(eig_vals)# 提取前k个特征向量
topk_eig_vecs = eig_vecs[: , sorted_indices[: -k - 1: -1]]
return topk_eig_vecsdef main():iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.targetW = LDA(X, y, 2)
X_new = np.dot(X, W)
plt.scatter(X_new[: , 0], X_new[: , 1], marker = 'o', c = y)
plt.show()# 和sklearn的函数对比
lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components = 2)
lda.fit(X, y)
X_new = lda.transform(X)
plt.scatter(X_new[: , 0], X_new[: , 1], marker = 'o', c = y)
plt.show()main()

降到二维的效果图

(我们实现的LDA算法的降维结果)

可以看到使用LDA算法成功实现了多分类数据的降维。

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