《编译原理》一道关于逆波兰式的作业题（学委推导出了逆波兰式的数学公式表示）

考虑下面的上下文无关文法：考虑下面的上下文无关文法：考虑下面的上下文无关文法： S→SS∗∣SS+∣aS → SS* \; | \; SS+ \; | \; aS→SS∗∣SS+∣a
(1).表明通过此文法如何生成串aa+a∗，并为该串构造语法树(1). 表明通过此文法如何生成串aa + a*，并为该串构造语法树(1).表明通过此文法如何生成串aa+a∗，并为该串构造语法树
(2).该文法生成的语言是什么？(2). 该文法生成的语言是什么？(2).该文法生成的语言是什么？

解：解：解：
(1).S⇒SS∗⇒Sa∗⇒SS+a∗⇒Sa+a∗⇒aa+a∗\qquad(1). \;\; S ⇒ SS* ⇒ Sa* ⇒ SS+a* ⇒ Sa+a* ⇒ aa+a*(1).S⇒SS∗⇒Sa∗⇒SS+a∗⇒Sa+a∗⇒aa+a∗
可为该推导序列构造语法树如下：\qquad\qquad 可为该推导序列构造语法树如下：可为该推导序列构造语法树如下：

#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .label{font-family:'trebuchet ms', verdana, arial;font-family:var(--mermaid-font-family);fill:#333;color:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .label text{fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .node rect,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .node circle,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .node ellipse,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .node polygon,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370db;stroke-width:1px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .node .label{text-align:center;fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .node.clickable{cursor:pointer}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .arrowheadPath{fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edgePath .path{stroke:#333;stroke-width:1.5px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .flowchart-link{stroke:#333;fill:none}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edgeLabel{background-color:#e8e8e8;text-align:center}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edgeLabel rect{opacity:0.9}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edgeLabel 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verdana, arial;font-family:var(--mermaid-font-family)}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .section{stroke:none;opacity:0.2}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .section0{fill:rgba(102,102,255,0.49)}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .section2{fill:#fff400}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .section1,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .section3{fill:#fff;opacity:0.2}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .sectionTitle0{fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .sectionTitle1{fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .sectionTitle2{fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .sectionTitle3{fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .sectionTitle{text-anchor:start;font-size:11px;text-height:14px;font-family:'trebuchet ms', verdana, arial;font-family:var(--mermaid-font-family)}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .grid .tick{stroke:#d3d3d3;opacity:0.8;shape-rendering:crispEdges}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .grid .tick text{font-family:'trebuchet ms', verdana, arial;font-family:var(--mermaid-font-family)}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .grid path{stroke-width:0}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .today{fill:none;stroke:red;stroke-width:2px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .task{stroke-width:2}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .taskText{text-anchor:middle;font-family:'trebuchet ms', verdana, arial;font-family:var(--mermaid-font-family)}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .taskText:not([font-size]){font-size:11px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .taskTextOutsideRight{fill:#000;text-anchor:start;font-size:11px;font-family:'trebuchet ms', verdana, arial;font-family:var(--mermaid-font-family)}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .taskTextOutsideLeft{fill:#000;text-anchor:end;font-size:11px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .task.clickable{cursor:pointer}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .taskText.clickable{cursor:pointer;fill:#003163 !important;font-weight:bold}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .taskTextOutsideLeft.clickable{cursor:pointer;fill:#003163 !important;font-weight:bold}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM 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.activeText3{fill:#000 !important}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .done0,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .done1,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .done2,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .done3{stroke:grey;fill:#d3d3d3;stroke-width:2}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .doneText0,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .doneText1,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .doneText2,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .doneText3{fill:#000 !important}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .crit0,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .crit1,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .crit2,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .crit3{stroke:#f88;fill:red;stroke-width:2}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .activeCrit0,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .activeCrit1,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .activeCrit2,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .activeCrit3{stroke:#f88;fill:#bfc7ff;stroke-width:2}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .doneCrit0,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .doneCrit1,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .doneCrit2,#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM 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arial;font-family:var(--mermaid-font-family);font-size:10px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM g.classGroup text .title{font-weight:bolder}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM g.clickable{cursor:pointer}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM g.classGroup rect{fill:#ECECFF;stroke:#9370db}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM g.classGroup line{stroke:#9370db;stroke-width:1}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .classLabel .box{stroke:none;stroke-width:0;fill:#ECECFF;opacity:0.5}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .classLabel .label{fill:#9370db;font-size:10px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .relation{stroke:#9370db;stroke-width:1;fill:none}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .dashed-line{stroke-dasharray:3}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM #compositionStart{fill:#9370db;stroke:#9370db;stroke-width:1}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM #compositionEnd{fill:#9370db;stroke:#9370db;stroke-width:1}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM #aggregationStart{fill:#ECECFF;stroke:#9370db;stroke-width:1}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM 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.statediagram-cluster.statediagram-cluster-alt .inner{fill:#e0e0e0}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .statediagram-cluster .inner{rx:0;ry:0}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .statediagram-state rect.basic{rx:5px;ry:5px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .statediagram-state rect.divider{stroke-dasharray:10,10;fill:#efefef}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .note-edge{stroke-dasharray:5}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .statediagram-note rect{fill:#fff5ad;stroke:#aa3;stroke-width:1px;rx:0;ry:0}:root{--mermaid-font-family: '"trebuchet ms", verdana, arial';--mermaid-font-family: "Comic Sans MS", "Comic Sans", cursive}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .error-icon{fill:#522}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .error-text{fill:#522;stroke:#522}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edge-thickness-normal{stroke-width:2px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .marker{fill:#333}#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .marker.cross{stroke:#333}:root { --mermaid-font-family: "trebuchet ms", verdana, arial;} #mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .all > * { font-weight: bold !important; fill: transparent !important; stroke: transparent !important; } #mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM .all tspan { !important; }#mermaid-svg-XLtB94rDXm3gVIHM {color: rgba(0, 0, 0, 0.75);font: ;}

(2).\qquad(2). \;\;(2).由规则{S→aS→SS∗∣SS+可知，一个串可以由两个串及一个紧跟其后的运算符{+∗}组成由规则\begin{cases} S → a \\ S → SS* \; | \; SS+ \end{cases}可知，一个串可以由两个串及一个紧跟其后的运算符\{+ \quad *\}组成由规则{S→aS→SS∗∣SS+可知，一个串可以由两个串及一个紧跟其后的运算符{+∗}组成
这个语言显然定义了字符a在运算集{+∗}上的逆波兰式\qquad\qquad 这个语言显然定义了字符a在运算集\{+ \quad * \}上的逆波兰式这个语言显然定义了字符a在运算集{+∗}上的逆波兰式

下面附上咱班学委‾苦思一天所想到逆波兰式的数学表达式，以及老师的理解思路\qquad\qquad 下面附上\underline{\textbf{咱班学委}}苦思一天所想到逆波兰式的数学表达式，以及老师的理解思路下面附上咱班学委苦思一天所想到逆波兰式的数学表达式，以及老师的理解思路

数学表达式\qquad\qquad \textbf{数学表达式}数学表达式
{aw1w2⋯wk∣wi=aAi(+∣∗)Bi,Ai,Bi,k∈N,其中∑i=1kAi=∑i=1kBi,且∀j≤k有∑i=1jAi≥∑i=1jBi}\qquad\qquad\qquad\qquad \begin{aligned} \{ \; a w_1 w_2 \cdots w_k \; | \; & w_i = a^{A_i} (+ \; | \; *)^{B_i}, \; A_i, B_i, k ∈ N, \\ & 其中 \sum\limits_{i=1}^{k}A_i = \sum\limits_{i=1}^{k}B_i, \\ & 且 \; \forall \; j \le k \;有 \sum\limits_{i=1}^{j}A_i \ge \sum\limits_{i=1}^{j}B_i \; \} \end{aligned}{aw1w2⋯wk∣wi=aAi(+∣∗)Bi,Ai,Bi,k∈N,其中i=1∑kAi=i=1∑kBi,且∀j≤k有i=1∑jAi≥i=1∑jBi}

理解思路\qquad\qquad \textbf{理解思路}理解思路
做出状态转换图如下：\qquad\qquad\qquad\qquad 做出状态转换图如下：做出状态转换图如下：
\qquad\qquad\qquad\qquad
根据这个状态转换图构造出的自动机其实是一个无限状态自动机\qquad\qquad\qquad\qquad 根据这个状态转换图构造出的自动机其实是一个无限状态自动机根据这个状态转换图构造出的自动机其实是一个无限状态自动机

从这个状态转换图来看\qquad\qquad\qquad\qquad 从这个状态转换图来看从这个状态转换图来看
①S到Z的第一个状态转换，需要1次a\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ① \; S到Z的第一个状态转换，需要1次a①S到Z的第一个状态转换，需要1次a
②Z到A、B、C等状态，可以经过若干组【连续的a和连续的(+∣∗)】\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ② \; Z到A、B、C等状态，可以经过若干组【连续的a和连续的(+ \; | \; *)】②Z到A、B、C等状态，可以经过若干组【连续的a和连续的(+∣∗)】
③Z到A、B、C等状态，需要的a的总次数必然比需要的(+∣∗)的总次数多\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ③ \; Z到A、B、C等状态，需要的a的总次数必然比需要的(+ \; | \; *)的总次数多③Z到A、B、C等状态，需要的a的总次数必然比需要的(+∣∗)的总次数多
④Z经过若干次回到Z终态，需要的a的次数必然等于需要的(+∣∗)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ④ \; Z经过若干次回到Z终态，需要的a的次数必然等于需要的(+ \; | \; *)④Z经过若干次回到Z终态，需要的a的次数必然等于需要的(+∣∗)

那么\qquad\qquad\qquad\qquad 那么那么
根据①②，可以知道表达式的形式为aw1w2⋯wk，wi=aAi(+∣∗)Bi，Ai,Bi,k∈N\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 根据①②，可以知道表达式的形式为a w_1 w_2 \cdots w_k，w_i = a^{A_i} (+ \; | \; *)^{B_i}，A_i, B_i, k ∈ N根据①②，可以知道表达式的形式为aw1w2⋯wk，wi=aAi(+∣∗)Bi，Ai,Bi,k∈N
根据③，可以知道存在约束：∀j≤k有∑i=1jAi≥∑i=1jBi\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 根据③，可以知道存在约束：\forall \; j \le k \;有 \sum\limits_{i=1}^{j}A_i \ge \sum\limits_{i=1}^{j}B_i根据③，可以知道存在约束：∀j≤k有i=1∑jAi≥i=1∑jBi
根据④，可以知道存在约束：∑i=1kAi=∑i=1kBi\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 根据④，可以知道存在约束：\sum\limits_{i=1}^{k}A_i = \sum\limits_{i=1}^{k}B_i根据④，可以知道存在约束：i=1∑kAi=i=1∑kBi

于是就总结出了逆波兰式的数学表达式如下：\qquad\qquad\qquad\qquad 于是就总结出了逆波兰式的数学表达式如下：于是就总结出了逆波兰式的数学表达式如下：

{aw1w2⋯wk∣wi=aAi(+∣∗)Bi,Ai,Bi,k∈N,其中∑i=1kAi=∑i=1kBi,且∀j≤k有∑i=1jAi≥∑i=1jBi}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \begin{aligned} \{ \; a w_1 w_2 \cdots w_k \; | \; & w_i = a^{A_i} (+ \; | \; *)^{B_i}, \; A_i, B_i, k ∈ N, \\ & 其中 \sum\limits_{i=1}^{k}A_i = \sum\limits_{i=1}^{k}B_i, \\ & 且 \; \forall \; j \le k \;有 \sum\limits_{i=1}^{j}A_i \ge \sum\limits_{i=1}^{j}B_i \; \} \end{aligned}{aw1w2⋯wk∣wi=aAi(+∣∗)Bi,Ai,Bi,k∈N,其中i=1∑kAi=i=1∑kBi,且∀j≤k有i=1∑jAi≥i=1∑jBi}

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【编译原理】-- 第二章（三）（文法的化简改造、无用产生式、产生式的消除、文法的其他表示方法、例题）
目录一.文法的化简与改造 1.文法的实用限制 (1)不含无用产生式 (2)不含有害规则 (3)无用符号和无用产生式的消除 2.产生式的消除算法3: 算法4:ε不属于L(G) 算法5:ε属于L(G) ...
编译原理 —— 正规文法转换为正规式
正规文法与正规式都是描述正规集的工具.对任意一个正规文法,存在定义统一语言的正规式:反之,对每个正规式存在一个生成同一语言的正规文法. 对任何正规文法G,存在定义同一语言的正规式 r 求解过程 ① 将 ...
北邮编译原理（上）
文章目录第一章编译概述 1.翻译和解释 1.1 程序设计语言 1.2 翻译程序 2.编译的阶段和任务 2.1 分析阶段 2.1.1 词法分析 2.1.2 语法分析 2.1.3 语义分析 2.2 综 ...
软件工程专插本_2021年软件工程专业-编译原理-考试大纲（专插本）.docx
吉林大学珠海学院 2021 年本科插班生招生考试 < 软件工程 >专业课程考试大纲考试科目名称: 编译原理一.考试的内容.要求和目的第 1 章引论 (考核比重:10%) (一)课程 ...
【编译原理】词法分析和语法分析两万字全总结（这知识它不进脑子啊~！）
文章目录 1 引论-一些名词解释 1.1 解释器 1.2 翻译器和编译器 1.3 编译型的程序设计语言和解释型的程序设计语言各有哪些优缺点? 1.4 编译过程六个阶段的任务 1.5 遍的概念 2 词法 ...
【编译原理】中间代码优化(三) 循环优化
文章目录循环优化概述. 计算必经节点集. 循环查找算法. 1.查找回边. 2.查找循环. 代码外提. 强度削弱. 删除归纳变量. 循环优化概述. 什么叫做循环?循环就是程序中那些可能反复执行的代码序 ...
编译原理求FIRST集、FOLLOW集和SELECT集
所有大写字母代表非终结符,小写字母代表终结符,省略号代表未知数目(可能为0)的不确定类型的文法符号. First集合: First集合顾名思义就是求一个文法符号串所可能推导出的符号串的第一个终结符的集 ...
逆波兰式 java_Java 实现《编译原理》中间代码生成 -逆波兰式生成与计算 - 程序解析...
Java 实现<编译原理>中间代码生成 -逆波兰式生成与计算 - 程序解析编译原理学习笔记 (一)逆波兰式是什么? 逆波兰式(Reverse Polish notation,RPN,或逆 ...

《编译原理》一道关于逆波兰式的作业题（学委推导出了逆波兰式的数学公式表示）

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