求解下列递推关系式_装错信封问题及九连环问题的递推关系式以及通项公式的推导（尤其是高中生一定要读）...

错装信封问题的递推关系式本人在高中时已经自悟出来，但是通项公式没有自悟出来，通项公式是一六年时和李化雨兄弟探讨数学时从他那里学来的，不过后来又经过仔细思考，发现通项公式的推导过程中不除以阶乘也一样可以推出同样的结果，只不过不如除以阶乘以后看起来更直观。李化雨兄弟做高中奥数题是个高手，几乎是信手拈来。九连环问题其实更加简单，不过是一个很简单的线性递推关系，只不过比高中常见的数列问题更复杂一步，它可以归结为线性差分方程，也可以利用高中知识直接求解。我们分别用两种方法对九连环问题进行求解。

我们先看错装信封问题。错装信封问题即我们有写好的

$n$ 封不同的信件，以及与之一一对应的

$n$ 个不同的信封，将

$n$ 个信件全部装错信封的方法数有多少？其实对于这个问题，递推关系式要比通项公式容易得多。下面我们先来推导递推关系式，不妨记通项为

$a_{n}$

对于这

$n$ 个信件中的第1个，我们将它装错可以有

$n-1$ 种装法，即只要不装在与它对应的那个信封里即可；
当第1个信件装完以后，剩余有
$n-1$ 个信件，以及

$n-1$ 个信封，此时不妨假定第1个信件被装在了第

$i$ 个信封里，则剩余的

$n-1$ 个信件与

$n-1$ 个信封可以分两种情况讨论：1). 第

$i$ 个信件装在了第1个信封里，此时剩余的

$n-2$ 个信件与信封全部错装的方法数是

$a_{n-2}$ ；2). 第

$i$ 封信没有被装在第1个信封里，此时不妨看作是第1个信封与第

$i$ 个信件对应，则此时

$n-1$ 个信件与

$n-1$ 个信封全部装错的方法数为

$a_{n-1}$

综上所述可得

$a_{n}=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})$

这便是错装信封问题的推导，其实只要思路清晰、直接了当，推导过程并不麻烦。我们可以简单地根据递推关系式算出

$a_{1}=0, a_{2}=1, a_{3}=2, a_{4}=9, a_{5}=44, \cdots$

下面我所再看它的通项公式，将上式变形可得

$a_{n}=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})\\ \Leftrightarrow a_{n}-na_{n-1}=-[a_{n-1}-(n-1)a_{n-2}]\\ \Leftrightarrow \frac{a_{n}}{n!}-\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}=-\frac{1}{n}[\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}-\frac{a_{n-2}}{(n-2)!}]\\ \Leftrightarrow\frac{a_{n}}{n!}-\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}=\frac{(-1)^{n-2}}{\frac{n!}{2!}}(\frac{a_{2}}{2!}-a_{1})=\frac{(-1)^{n-2}}{n!}=\frac{(-1)^{n}}{n!}$

其中，倒数第2步用到了

$a_{1}=0, a_{2}=1$ . 继续推导可得

$\frac{a_{n}}{n!}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{(-1)^{n}}{n!}\\ =\frac{a_{n-2}}{(n-2)!}+\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{(-1)^{n}}{n!}\\ =\cdots\cdots\\ =\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}+\frac{a_{1}}{1!}\\ =\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}+1+\frac{a_{1}}{1!}\\ =\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}+1$

则有

$a_{n}=n![\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}+1]$

这便是错装信封总是的通项公式，其实不需要除以

$n!$ 这一步也可以推出该结果，但是不如这样来得直观。

下面再讨论一下九连环的步数总题。和错装信封一样，为了求出他的通项公式，首先推导其递推关系式。不妨记通项为

$a_{n}$ , 我们想一下九连环的拆卸过程（安装过程也同理）。设想，我们想摘掉第前

$n$ 个环，我们必须

把前

$n-2$ 个环全部摘掉共

$a_{n-2}$ 步, 才能摘掉第

$n$ 个环
把第
$n$ 个环摘掉1步，
之后为了摘掉第
$n-1$ 个环，要把这

$n-2$ 个环全部安装上共需要

$a_{n-2}$ 步，
再花费
$a_{n-1}$ 步把前

$n-1$ 个环摘掉，

综上可得递推关系

$a_{n}=a_{n-1}+2a_{n-2}+1$

解

$x^{2}=x+2$

可得

$x=-1或x=2$ 因此可得

$a_{n}+1a_{n-1}=2(a_{n-1}+1a_{n-2})+1$

即

$a_{n}+a_{n-1}=2(a_{n-1}+a_{n-2})+1$

将两端加一个常数

$c$ 配成相同的比例

$\frac{c}{1}=\frac{c+1}{2}$

可得

$c=1$ , 因此

$a_{n}+a_{n-1}+1=2(a_{n-1}+a_{n-2}+1)\\ \Leftrightarrow a_{n}+a_{n-1}+1=2^{n-2}(a_{2}+a_{1}+1)$

我们不难知道

$a_{1}=1, a_{2}=2$

因此

$a_{n}+a_{n-1}+1=2^{n}\\ \Leftrightarrow a_{n}=-a_{n-1}-1+2^{n}$

加上一个常数将两端配平可得，

$a_{n}+\frac{1}{2}=-(a_{n-1}+\frac{1}{2})+2^{n}\\ \Leftrightarrow \frac{a_{n}+\frac{1}{2}}{2^{n}}=-\frac{1}{2}\frac{a_{n-1}+\frac{1}{2}}{2^{n-1}}+1\\ \Leftrightarrow \frac{a_{n}+\frac{1}{2}}{2^{n}}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}[\frac{a_{n-1}+\frac{1}{2}}{2^{n-1}}-\frac{2}{3}]\\ \Leftrightarrow \frac{a_{n}+\frac{1}{2}}{2^{n}}-\frac{2}{3}=(-\frac{1}{2})^{n-1}[\frac{a_{1}+\frac{1}{2}}{2}-\frac{2}{3}]$

因此

$a_{n}=-\frac{1}{6}(-1)^{n}+\frac{2}{3}\times2^{n}-\frac{1}{2}$

我们还可以用差分方程来直接得出结果，由

$a_{n}=a_{n-1}+2a_{n-2}+1\\ a_{n-1}=a_{n-2}+2a_{n-3}+1$

两式相减可知齐次递推关系式为

$a_{n}-2a_{n-1}-a_{n-2}+2a_{n-3}=0$

特征方程为

$x^{3}-2x^{2}-x+2=0$

根为

$x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=2$ , 因此通项公式为

$a_{n}=c_{1}1^{n}+c_{2}(-1)^{n}+c_{3}2^{n}$

再将

$a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=5$ 代入上式即可解出

$c_{1}=-\frac{1}{2}, c_{2}=-\frac{1}{6}, c_{3}=\frac{2}{3}$

与高中的解法得出的结果相同。其实这两种方法没有本质区别，因为在配递推关系式系数的过程实际上就是解特征方程的过程，这些这以前在微信公众号“ChengshenTonghui”——丞申通汇文化平台上曾经专门有一篇较长的文章讨论过，此篇文章就不再赘述了。

最后，希望感兴趣的读者关注我的知乎以及知乎专栏“高等代数精深简明讲义”、“数学妙谈”、“古诗文”、微信公众号“ChengshenTonghui”。私人联系方式为：18612313613（微信同）

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